先日以下の文献を読んでいて、意外に思ったことがある。
- Nicholas Griffin “The Prehistory of Russell's Paradox,” in Godehard Link ed., One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, De Gruyter Series in Logic and its Applications, vol. 6, 2004
私は以前から次のように思っていました。
Russellは自らの名を冠することになる重大なparadoxを発見した。これは数学の基礎に対し危機をもたらすような衝撃を持つ大変重要なparadoxである。この発見はまったくただ事ではない。このような理解の下、Russellは今述べたような決定的意義を持つparadoxがFregeのGrundgesetzeの第一巻のsystemから導き出されてしまうことを見つけ、これはただならぬ事だとFregeにその旨を連絡する。すると思った通りFregeも驚いて、これは大変な事だとの返信をRussellに送り返してきた…。
多分ですが、RussellやFregeの専門家でもない限り、私と同様、他の方々も、大体上記のようにRussell Paradoxの、Fregeへの伝達を理解されているものと推測しています。
ところで最初に引いたGriffinさんの論文を読んでいると、このRussell Paradox 伝達の通念が、どうやら間違いらしいことが言われている。Russellは自分の名を冠することになるparadoxを発見し、これは数学の基礎に危機をもたらす重大なparadoxだと気付き、そのようなparadoxがFregeのsystemから出てくることを見つけ、これは大変なことだとFregeへ連絡する…、このような通念は間違いだというのである。そこで次にGriffinさんの文を引いてみよう*1。原文に付されている註の類いは一切省く。引用文中太字は引用者による。
Russell came upon his own paradox while considering Cantor's proof that there is no greatest cardinal. […] It was Russell who saw the resulting paradox [Russell Paradox] as a serious problem to be solved. But not immediately: at first he thought “there was some trivial error in the reasoning.” This, no doubt, accounts for his relatively long silence on the topic. Though the paradox was discovered in May/June 1901, Russell does not seem to have reported it to anyone (except perhaps Whitehead) until June 1902, when he wrote to both Frege and Peano about it. It was, as Moore and Garciadiego comment, only when Russell received Frege's horrified reply that he realized how difficult the problem would be to solve.
つまりRussellはRussell Paradoxを発見当初、それは何かの間違いだ、どこかに間違いがあって、こんなparadoxが出てきているのであろうと思い、一年ほど誰にも伝えていなかったが、Fregeに連絡してその返事がFregeの驚愕の念を伝えるものであったが故に初めて事の重大さに気が付いた、という訳である。Russellは自らのparadoxがそんなに重大なものだとは、Fregeに言われるまで気が付かなかったというのだ。
上記引用文中に‘as Moore and Garciadiego comment,’とある。これは以下の文献を指している。
- Gregory H. Moore and Alejandro Garciadiego “Burali-Forti's Paradox: A Reappraisal of Its Origins”, in: Historia Mathematica, vol. 8, issue 3, 1981
そこでこの文献を開いて調べてみると、今私たちが問題としている話題が、pp. 328-29 に出てくる。そこでもGriffinさんの話を支持する論が展開されている。
ところでMooreさんは次のような文献をお書きになられていた。
- Gregory H. Moore “The Origins of Russell's Paradox: Russell, Couturat, and the Antinomy of Infinite Number,” in Jaakko Hintikka ed., From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, Synthese Library, vol. 251, 1995
このMooreさん単独論文をも調べてみると、同様の話が pp. 234-35 に出てくる。しかもMoore and Garciadiego論文に内容が非常に似通っている。どうやらMoore and Garciadiego論文の語句を修正・追加することでMoore単独論文ができているようだ*2。そこで両論文とも大変似ているので、後で書かれた新しいMoore単独論文の該当箇所を以下に引いて、話を聞いてみよう*3。例によって註の類いは省く。引用文中太字は引用者による。
When Russell found the paradox that now bears his name, he did not at first recognize its importance. So far as is known, he informed no one about it at the time. No reference to it occurs in his voluminous correspondence with his wife Alys, or with Couturat, before mid-1902, nor in any other letter of Russell's that is extant. There is no known evidence that he informed Whitehead, with whom he was collaborating on Principia Mathematica by late 1901. The first person that we know Russell to have told of his paradox was Giuseppe Peano, but there is no evidence that Peano replied, nor that he was worried about Russell's Paradox at the time. We know that Russell informed Peano of the paradox only because Russell mentioned having done so in his letter to Frege of 16 June 1902, from which Frege learned of the paradox.
Why did Russell remain silent about his paradox for an entire year? Two letters, one to Alys and one to Couturat, help to clarify this silence. On 25 June 1902 Russell wrote to Alys: “I have heard from Frege, a most candid letter; he says that my conundrum makes not only his Arithmetic, but all possible Arithmetics, totter.” Here Russell referred to Frege's reply of 22 June to the letter in which Russell had first informed Frege of Russell's Paradox. What is particularly striking about the letter to Frege is how Russell's Paradox is stated almost by happenstance. The letter gives no evidence that Russell regarded his paradox as essentially different from the various antinomies that he had put forward for six years, nor, in particular, from the antinomy of infinite number that had occupied him during 1899 and early 1900. What his letter to Alys reveals is the impact of Frege's letter on Russell. The fact that Frege, whose logical work Russell admired intensely, found Russell's Paradox devastating, and played a major role in convincing him of its fundamental importance. Over the next two months they exchanged several letters about the Paradox and its possible solutions, causing Russell to thoroughly revise the chapter devoted to his paradox in the Principles.
The second letter to clarify Russell's year-long silence in the one in which he first mentioned the paradox to Couturat. On 29 September 1902 Russell wrote that he was very busy with the Principles:
I do not know what to do about a class of contradictions of which the simplest is this:
w ＝ χ∋(χ〜εχ) . ⊃ : χεw . ≡ . χ〜εχ : ⊃ : wεw . ≡ . w〜εw. *4
I have tried many solutions without success. One obtains contradictions of this sort by taking Cantor's proof that there is no largest cardinal and applying it to the class of all individuals, or of all propositions, or of all relations. When my book began to be printed, I believed that I could avoid these contradictions, but now I see that I was mistaken, a fact that greatly diminishes the value of my book.
This passage indicates that, little by little, Russell came to place his paradox at the center of his foundational concerns. So long as he believed that the paradox could be solved without great difficulty, it was not fundamental. Only after failing at many attempts to resolve it, and only after Frege underlined its significance, did Russell come to regard the paradox as crucial.
この引用文から読み取れることを、補足を若干交えつつ、要約してみよう。
Russellは最初、自分の名を冠せられるparadoxを見つけた時、その重要性を理解していなかった。それで一年間、特に誰にもその発見を伝えずにいた。しかしFregeにそのparadoxを知らせたところ、驚愕の念をにじませた書簡が返ってきた。算術の基礎付け一般に対して重大な帰結をもたらすparadoxだと教えられたRussellは、ここでこのparadoxがただならぬものであることに気が付く。そしてこのparadoxを解決するために、色々と手を尽くすが、どれもうまく行かない。当初はただならぬこのparadoxも何とか克服できるものと思われていたが、試行錯誤の過程で失敗を重ね、納得のいく単純・簡明な解決が不可能と悟るに到る。こうしてRussellは、自分のRussell Paradoxが正真正銘の難問であり、算術の基礎付けに対する根本的かつ中心的な、越えられるべき課題であることに気が付くことになる。ここで初めてRussellはRussell Paradoxを真に発見したのである。
ところでこうして見ると、Russell Paradoxが真に重大なparadoxであることを最初に見抜いたのは、RussellではなくFregeだということになる。そんなに重大だとは思わずに件のparadoxをRussellがFregeに伝えたところ、Fregeは実に驚愕すべきことだとRussellに返信してきて、そこで初めてRussellはそれが重大なものだと気が付いた訳である。Russell ParadoxはRussellによって発見されたものの、その重要性を最初に指摘したのはFregeだった、ということになる。
また、歴史上、最初にRussell Paradoxを発見したのはRussellではなく、Zermeloであることは、今ではよく知られているようだ。ZermeloがRussell Paradoxを発見したのは1899年のことらしい*5。彼はこの発見を大々的に公表したことはなかったようである*6。発見してからおよそ10年ほどして一度だけ活字で公にしたことがあるようだが*7、あちこちで宣伝して回るというようなことはなかったみたいである。恐らくZermeloはこのparadoxをそれほど重大視していなかったようである*8。
以上のような考察が、仮に正しいとするならば、Russell Paradoxを最初に発見したのはZermeloだが、そのparadoxの重要性を最初に見出したのはFregeだということになる。そしてその重要性を大々的に公にして宣伝した最初の人物はRussellだった、ということだろうか。いずれにせよ、Russell Paradoxの真の意義に最初に気が付いたのはFregeだったのだ、FregeこそがRussell Paradoxの真の発見者だったのだ、ということになるのかもしれない。少なくともそのparadoxの意義を最初に見出したのは誰か、ということになれば…。
なお、さらに調べを進めるならば、このような見解に対し、異論も存在するようである。I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 のp. 324 とそのページの note 19 を見るならば、Grattan-Guinnessさん自身は、上記のMoore and Garciadiego論文の考えに反対しておられるようである。その理由についてはそのページでGrattan-Guinnessさんは余すところなく完全な形では述べておられないようだが、補足して語るならば、次のような理由からであろう。
まず、RussellのPrinciplesのChapter 10では、Russell Paradoxが論じられている。そのようなPrinciplesの原稿が印刷所に回されたのは、Fregeへの第一信を送付する前である*9。つまりRussell Paradoxが興味深いparadoxだとして検討する原稿を既に書いた後で、RussellはFregeに例の手紙を書いているのである。よってRussellはRussell Paradoxが重要なparadoxであることに既に気が付いており、だからPrinciplesの本文で検討されているのであって、それらの検討作業の後にFregeへ手紙を送って、Fregeの驚いた旨を記した返信を受け取っているのである。したがってRussellがRussell Paradoxの重要性に気が付くのは、Fregeの返信を受ける前である。この返信を受けてから初めて件のparadoxの重要性に気がついてのではない、と大体こんなところでしょうか。
この異論についてはさらに調査が必要である。私はしんどいのでどなたかご興味がある方はやってみて下さい。但し、上記の記述は無学な私が簡単な調べものをしただけで記しているので、間違いが含まれているかもしれません*10。また、長い文章を書き連ねてきたので、充分に見直しておりませんから、そのために誤字・脱字等もあろうかと思います。それらの点については前もってお詫び申し上げます。
*1:Griffin, p. 352.
*2:ちなみにMoore and Garciadiego論文の方が強く断定する文体で書かれており、Moore単独論文は、幾分トーンが抑えられ、断定する調子が緩められている。Moore単独論文の方が、慎重な書き方に変じているようだ。
*3:Moore, pp. 234-35. 和訳ではその243-44ページに当たる。グレゴリ・H・ムア、「ラッセル逆理の起源 ラッセル、クチュラ、無限数の二律背反」、大辻正晴訳、『現代思想』、青土社、1997年8月号。
*4:和訳ではこの式の一部が特に断ることなく書き換えられている。しかしMoore and Garciadiego論文、Moore単独論文ともにこの式が掲げられているので、取り合えず原文のまま、書き換えずに掲げておく。
*5:I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel, Princeton University Press, Princeton paperbacks Series, 2000, p. 312.
*6:Ibid., pp. 216-17, 312.
*7:Ibid., p. 216.
*8:Heinz-Dieter Ebbinghaus, Ernst Zermelo: An Approach to his Life and Work, in cooperation with Volker Peckhaus, Springer, 2007, pp. 43, 45 を参照。この43, 45ページでは、Zermeloを含んだ Hilbert's circle 内でRussell Paradoxの重要性が認識されるのには時間がかかっており、1903年以降、RussellとFregeが件のparadoxを活字にしてから、ようやくその重大性が認識された旨、記されている。また、当日記の2008年2月4日、‘The Origins of Zermelo's Axiomatization of Set Theory’のセクションをも参照。そこではZermeloがそもそもset theoretic paradoxesに対し、思われているほど重要性を見ていない主旨の話が記されています。
*9:Grattan-Guinness, op.cit., p. 324.
*10:そもそも、RussellはあれこれとPrinciplesの原稿他、たくさんの草稿を残しているようなので、これらの草稿をちゃんと調べた後でないと、断定的なことは何も言えない。したがってきちんと草稿を調査していない私の以上の記述にもきっと不備や勘違いが多数含まれているはずである。
