個人的に意外に感じたことを以下に記します。とても長いです。
例によって、哲学的考察を展開しているというものではありません。
私自身の見解は、まったく表明しておりません*1
また、以下の日記の内容は、Frege-Hilbert Controversy と深い関係があります。本来ならこの論争も取り上げなければなりませんが、わたしの勉強不足、力不足により、今回は一切省かせていただきます。
さて、Frege には metalogical point of view がないとは、時々言われることではなかろうかと思います。
そのようなことを述べている最も有名な論文は、次のものだと思われます。
- Jean van Heijenoort “Logic as Calculus and Logic as Language,” in: Synthese, vol. 17, no, 3, 1967, and in his Selected Essays, Bibliopolis, History of logic, 3, 1985
ここで Heijenoort さんは次のように述べておられます。Synthese の326ページ、および Selected Essays の13ページから引用します。引用文中の‘the universality of logic’とは、Frege の論理学観を表しています。
Another important consequence of the universality of logic is that nothing can be, or has to be, said outside of the system. And, in fact, Frege never raises any metasystematic question (consistency, independence of axioms, completeness).
Heijenoort さんに従い、私も Frege には metalogical point of view がないのだろうと、今まで何となく思ってきました。
Frege には metalogical point of view がないだろうから、彼が consistency proof などを行うということはなかったであろうし、もしも彼が consistency proof などを行っていたとするならば、その時にはそれは彼が metalogical point of view を持っていたとする、有力な証拠となるでしょう。
とにかく、Frege には metalogical point of view がないだろうから、Frege が consistency proof の類いを行っていたとする可能性を、私はまったく考えたことがありませんでした。
しかし先日、Frege の Grundgesetze, I, §31 では何が行われているのだろうと、考えたり、関連する文献を読んだりしていると、私個人にとっては意外に思えることが人々によって語られていることを知りました。それは Grundgesetze, I, §31 で Frege は実際上、自らの logic の consistency proof を行っている、というものです。
また、Frege 自身がそのことを approve しているかのような発言も、実際に存在していることを知りました。それは Frege's Letter to Russell, 22. 6. 1902 の一部に見られます。これは Russell の、Russell Paradox を伝える第一報に対する Frege の返信です。ドイツ語原文と邦訳を掲げます。
Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf's Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in's Wanken geräth. Es scheint danach, dass die Umwandlung der Allgemainheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit (§9 meiner Grundgesetze) nicht immer erlaubt ist, dass mein Gesetz V (§29. S. 36) falsch ist und dass meine Ausführungen im §31 nicht genügen, in allen Fällen meinen Zeichenverbindungen eine Bedeutung zu sichern. *2
矛盾の御発見は思いがけぬことで私を非常に驚かせました。狼狽していると申したいほどであります。御発見によって私がその上に算術を築こうと考えた基盤が動揺に陥ったがためであります。そこでこれに応じてこう思われます − 相等性の普遍性を値域の相等性へ変換すること (『算術の基本法則』第 9 節) はつねに許されるわけではないこと、私の法則 V (同書第 20 節、36頁) は偽であること、第 31 節での説明はすべての場合に私の記号結合に対し意味を保証するには十分でないこと、であります。*3
この引用文の最後の部分がそうです。Russell Paradox が生じたが故に、Grundgesetze, I, §31 での論証はうまくいっていない、と Frege は述べていると考えられます。この対偶を取るならば、Grundgesetze, I, §31 での論証がうまくいっていたならば、Russell Paradox は生じなかったであろう、Russell Paradox は生じないと保証できたであろう、と読めるのではないかと思われます。つまり Frege は Grundgesetze, I, §31 で実質的に Grundgesetze 体系の無矛盾性を論証しようとしていたと考えられます。
以上のことは、冒頭に記した Heijenoort さんの主張と真っ向から対立するものと思われます。Frege には metalogical point of view はない、と思っていた私には、Frege が metalogical な考察の典型例である consistency proof を行っていたらしいという話は意外なものでした*4。
なお以下に、Grundgesetze, I, §31 辺りで Frege は実際上、自らの logic の consistency proof を行っている、と述べておられる論者の方々の文を引用してみます。ここから下は、引用文の羅列ですから、改めて確認するまでもないと思われる方は、この文章を読むことをこの辺りで切り上げられるとよいと思います。以下の引用文は、引用される各文献の刊行年の昇順で記します。引用文の文中に元あった注記は、すべて省いて引用します。
まず H. Sluga さん。氏は Frege の Grundgesetze, I, §31 前後に関して、次のように論評されています。
Given the way in which he has introduced his elementary symbols [of Grundgesetze], Frege thinks he can prove that every such symbol has exactly one reference. In particular he thinks he has ensured that well-formed expressions of the form ‘ 'χfχ ’have a unique reference. Thereby he hopes to have established that ‘the same also holds of any properly formed complex name.’ Since he treats sentences as names of truth-values, the proof that every name has exactly one reference amounts to a proof that no sentence refers to both the True and the False. If Frege's argument were successful it would in effect give us a consistency proof for the system of the Grundgesetze. *5
M. Dummett さん。
- Michael Dummett Frege Philosophy of Mathematics, Duckworth, 1991
において、Dummett さんは、‘Frege's consistency proof’と題した section を次のような言葉で始めておられます*6。
Armed with the stipulations of §29 [in Grundgesetze], Frege proceeds in §31 to set out his purported proof that every term of his symbolism has a reference.
そして、この section を次のような文章で締めくくっておられます*7。
Frege concludes that he has demonstrated that every singular term of his symbolism has a determinate reference. He most certainly had not. If he had, he would have given a consistency proof; his first reaction, on learning from Bertrand Russell of the contradiction, was to write to him that
my reasonings in §31 do not suffice to ensure a reference in all cases for my complex symbols.
What had gone wrong? *8
Richard G. Heck Jnr. さん。
- Richard G. Heck Jnr. “Grundgesetze der Arithmetik I §§29-32,” in: Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 38, no. 3, 1997
There is another sort of purpose which §31 is often said to have had: namely, to demonstrate the consistency of the Begriffsschrift. According to the interpretation I have offered, this was not among Frege's primary motivations. Onthe other hand, however, I do think that Frege was aware that it followed from what he had argued that the Begriffsschrift was consistent. The consistency of the system does not, of course, follow from the fact that every well-formed expression has a reference: one could simply stipulate that every name is to denote the True; that every first-level functional expression (including the logical expressions) is to denote the function whose value, for any argument, is the True; and so forth. That would assign every expression a denotation, but it is quite irrelevant to the question of consistency.
[…]
Moreover, there is solid textual evidence that Frege knew that the argument of §31 would have implied the consistency of the Begriffsschrift. In his first letter to Russell, Frege writes:
Your discovery of the contradiction has surprised me beyond words .... It seems accordingly that the transformation of the generality of an identity into an identity of value-ranges ... is not always permissible, that may law V ... is false, and that my explanations in sect. 31 do not suffice to secure a reference for may signs in all cases.
This is a list of three things which Frege thinks follow from Russell's discovery of the inconsistency of Axiom V: among these are that Axiom V is false and that the argument given in [ Grundgesetze ], I:30-31 does not work. Note how this latter fact is treated as being as obvious a consequence of Russell's discovery as the former, which really is obvious. The reason is simple: it follows from the argument given in §31 that the Begriffsschrift is consistent, and yet “Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden ....”*9
津留竜馬先生。
- 津留竜馬 「概念記法は何故矛盾したのか」、『思想』、岩波書店、no. 954、2003年10月号
フレーゲは、[…] 概念記法のどの表現も一定の意味を持つということの証明を与えている。しかもフレーゲはその証明によって、概念記法のすべての表現に対して彼が意図した通りの意味を指定することができたと考えていた。するとこのことからは、「概念記法からある表現が証明されたときには、その表現の意味は真理値真である」( BS |- E ⇒ [E] = t )、ということが結果する。このことは、概念記法という体系が健全(それゆえ無矛盾)であるということであり、実際フレーゲは、どの表現も一意的な意味を持つということの彼の証明から、概念記法の無矛盾性が帰結すると考えていた。しかし周知の通り、概念記法はラッセル・パラドクスのため矛盾しているのであり、そのためフレーゲの証明は失敗していたのである。*10
津留先生は、上記の引用文で語っておられる内容に関し、Frege の著作のどこにその典拠があるのかを記しておられませんが、おそらくそれは今までにもたびたび触れてきた、Grundgesetze, I, §31前後と、Frege's Letter to Russell, 22. 6. 1902, に典拠を置いてお話されているのだろうと推測致します。
最後に Linnebo さん。
- Øystein Linnebo “Frege's Proof of Referentiality,” in: Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 45, no. 2 2004
Why did Frege attempt to give a proof of referentiality? I believe the primary reason is his fundamental principle that in a scientifically perfect language, such as the Begriffsschrift, every name must have a unique denotation.
[…]
But as Frege realized, the proof of referentiality would also establish the consistency of the logical theory developed in Grundgesetze. Thus, when he learned of Russell’s paradox, Frege immediately conceded that “my explanations in sect. 31 do not suffice to secure a reference for my signs in all cases.” Given Russell’s paradox, we know that Frege’s proof of referentiality must somehow be flawed.*11
ところで、私は metalogic における metatheorems の類いが史上初めて証明されたのは、Löwenheim の1915年の論文からだろうと、何となく思っておりました。これは多分私だけのことではないだろうと思います。例えば
- R. L. Vaught, “Model Theory before 1945, ” in Leon Henkin et al. ed., Proceedings of the Tarski Symposium: An International Symposium Held to Honor Alfred Tarski on the Occasion of his Seventieth Birthday, the American Mathematical Society, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 25, 1974
の冒頭 p. 153 に、短く簡単なものですが、次のような文言が見られます。
One might rashly say that metalogic began in 1915 […]
Löwenheim 以前に metalogic はなかったというのが一般通念なのかもしれません*12。
しかし、もしも Frege が Grundgesetze, I, §31 で、logic の consistency proof を実際行っていたとするならば、それは失敗に終わってしまいましたが、それでもそれは metalogical な metatheorem の証明の試みだったと言えるのかもしれません。そうすると、metalogic の萌芽的な研究は既に Frege の1893年の著作から存在していた、ということになるのかもしれません*13。
ちなみに、上で多数引用した論者の方々に抗して Heijenoort さんの立場を擁護し、Frege はやはり metalogical point of view を持ってはいないと主張する方もおられます。
- Joan Weiner “Section 31 Revisited: Frege’s Elucidations,” in E. Reck ed., From Frege to Wittgenstein: Perspectives on Early Analytic Philosophy, Oxford University Press, 2002
ここで Weiner さんは、Grundgesetze, I, §31 前後を metalogical point of view から読むのはまったく間違っていると、強く主張しておられます。
加えて、おそらくこの Weiner さんに賛同するだろう名の知られた研究者に、Thomas Ricketts さんがおられます。例えば以下の論文を参照。
- Thomas Ricketts “Frege's 1906 Foray into Metalogic”, in: M. Beaney and E. Reck, ed., Gottlob Frege, Critical Assessments of Leading Philosophers Series, Vol. 2, Frege's Philosophy of Logic, Routledge, 2005 (First published in the journal Philosophical Topics, vol. 25, 1998.)
この論文は、Frege-Hilbert Controversy を扱ったもので、私は初めをちらっと見ただけですが、Frege に metalogical point of view はないという立場です。
以上の事柄については、また追々勉強して参ります。
本日の記述に関し、誤解や無理解、誤字・脱字、間違いや記述の不足等がありましたら、お詫び申し上げます。
*1:残念ながら、表明できるほどのものは、持ち合わせておりません。
*2:G. Frege, Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, sowie ausgewählte Einzelbriefe Freges, Mit Einleitungen, Anmerkungen und Register herausgegeben von Gottfried Gabriel, Friedrich Kambartel und Christian Thiel, Hamburg, Felix Meiner Verlag, Philosophische Bibliothek, Bd. 321, 1980, S. 61.
*3:G. フレーゲ、『フレーゲ著作集 第 6 巻 書簡集 付 「日記」』、野本和幸編、勁草書房、2002年、120-21ページ。
*4:但し、本当に Grundgesetze, I, §31 で Frege が consistency proof を行っていたと断言できるのか、今の私には確信が持てませんが…。
*5:Hans D. Sluga, Gottlob Frege, Routledge, The Arguments of the Philosophers, 2008 (Originally Published in 1980), p. 167. 但し、この文章に関しては次を参照。Michael D. Resnik, “Frege's Proof of Referentiality,” in: L. Haaparanta and J. Hintikka, eds., Frege Synthesized, D. Reidel Publishing Company, Synthese Library Series, 1986, pp. 189-91.
*6:Dummett, p. 215.
*7:Dummett, p. 216.
*8:ちなみに、Dummett さんは次の著作でも、今ここで問題にしている Frege's consistency proof について、論究しています。Michael Dummett, “Chairman's Address: Basic Law V,” in: Proceedings of the Aristotelian Society, New Series, vol. 94, part 2, 1994, Ditto, “The Context Principle: Centre of Frege's Philosophy,” in: M. Beaney and E. Reck, ed., Gottlob Frege, Critical Assessments of Leading Philosophers Series, Vol. 4, Frege's Philosophy of Thought and Language, Routledge, 2005, Originally published in: I. Max and W. Stelzner ed., Logik und Mathematik: Frege-Kolloquium Jena 1993, Walter de Gruyter, 1995, 後者の邦訳は次の通り。 マイケル・ダメット、「文脈原理 −フレーゲ哲学の中心」、岩本敦訳、岡本賢吾、金子洋之編、『フレーゲ哲学の最新像』、双書 現代哲学 5、勁草書房、2007年。
*9:Heck, pp. 462-63.
*10:津留、149ページ。
*11:Linnebo, p. 74.
*12:念のために申し添えますと、metatheoretical な考察は、1915年以前にもありました。ずっと昔からの、Euclidean Geometry の、いわゆる平行線の公理が独立か否かという考察がそうですし、世紀転換期においては Hilbert が算術の consistency について考察しています。
*13:なお、Frege よりもはるかな昔に Stoics が命題論理の完全性を証明していたという話があります。この話がどの程度説得力を持つかは、私にはよくわかりません。ここでは Stoics の話は取り上げません。この件について詳細は次の文献を参照して下さい。B. Mates, Stoic Logic, University of California Press, 1953, Chapter 5, especially pp. 81-2, W. Kneale and M. Kneale, The Development of Logic, Clarendon Press, 1962, Chapters 3 and 5, especially p. 174, J. M. ボヘンスキー、『古代形式論理学』、岩野秀明訳、公論社、1980年、第13-17章、特に第16章。
