Who Was the First to Formulate the Axiom of Choice?

もちろん Zermelo である、と思っていた。しかし次の文献を読んでいると、

  • Andrea Cantini  “Paradoxes and Contemporary Logic,” in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, First published Oct. 16, 2007

Section 3.1 Poincaré and Russell on Contradictions の末尾に次のようにある。引用文における註の[1]と[2]は引用者によって、Cantini 論文の bibliography から引いてきたものである。

For the sake of historical accuracy, we should remark that Beppo Levi, the author of the 1902 paper “Intorno alla teoria degli aggregati”[1] where the axiom of choice is first formulated as an independent principle of proof, outlined an antinomy which is essentially a variant of Berry's paradox in the context of discussing Richard's paradox (see Levi 1908)[2].

[1] Levi, B., 1902, “Intorno alla teoria degli aggregati”, Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, Rendiconti, 2nd Series, 35:863–868.
[2] Levi, B., 1908, “Antinomie logiche?”, Annali di Matematica (terza serie), tomo 15:188–216.


  • Andrea Cantini  “Paradoxes, Self-Reference and Truth in the 20th Century,” in: Dov M. Gabbay and John Woods ed., Logic from Russell to Church, Elsevier, Handbook of the History of Logic, vol. 5, 2009

p. 886, note 14, p. 895, note 29 に B. Levi が1902年に axiom of choice について述べているというようなことが、少しだけ触れられている。


1890年にペアノは、ある種の微分方程式の解の存在に関する彼の定理を証明したとき、自分は《おのおのの類に対して、その類の一員を対応させるべき任意の法則を、無限回適用する》というつもりに、ひとりでに、なりかけたことを述べている。ただし彼はすぐに、そのような推論は自分の眼には許容できないと付け加えている […]。また1902年に B. レヴィは、これと同じ推論を F. ベルンシュタインが、基数に関するある定理の証明に暗黙の内に使っていたことを注意した […]。


Tacitly used for years in mathematical arguments, incidentally stated and rejected by Peano (1890, p. 210), recognized as a new mathematical principle by Beppo Levi (1902, p.864), suggested to Zermelo by Erhard Schmidt, the axiom [of choice] was immediately put in the limelight by the importance of the [well-ordering] theorem that could now be proved.


  • N. Schappacher and R. Schoof  “Beppo Levi and the Arithmetic of Elliptic Curves,” in: The Mathematical Intelligencer, vol. 18, no. 1, 1996

論文の Introduction 冒頭に次のようにある。

N. Bourbaki's Éléments d'histoire des mathématiques mentions Beppo Levi as one of the rare mathematicians to have recognized the Axiom of Choice as a principle used implicitly in set theory, before Zermelo formulated it.
As we shall see below, the rôle sometimes accorded to Beppo Levi in the context of set theory seems somewhat overrated.

そして Section 4 Axiom of Choice and Lebesgue's Theory of Integration の冒頭近くで、次のようにある。ここでの引用文中の‘[ ]’は原文にあるものである。

Apparently following the local Torino tradition which had been started very early by G. Peano, to criticize uncontrolled application of arbitrary choices in set theory, Beppo Levi published a criticism of Felix Bernstein’s thesis, pointing out a certain partition principle that Bernstein used [Levi 1902]. In this sense Beppo Levi belongs to the prehistory of Zermelo’s famous article [Zermelo 1904]. Moore makes it clear, however, that Beppo Levi cannot be said to have already possessed Zermelo’s Axiom of Choice. And to be sure, Beppo Levi was never ready to admit this axiom in general—see [Moore 1982, 4.7]

この引用文中の‘[Moore 1982, 4.7]’は、Moore さんの Zermelo 本のこと。

この Section 4 の冒頭では以下の文献に言及されているので、それを読むと

  • Barbara Moss  “Beppo Levi and the Axiom of Choice,” in: Historia Mathematica, vol. 6, no. 1, 1979


Levi did not believe in the axiom of choice*3.


Although Levi's paper [Levi 1902] contains no reference to an axiom or principle of choice, there is some evidence that he considered and rejected such a principle […] *4

Levi さんの件の論文を読んでいないので何とも言えないが、the axiom of choice を定式化した最初の人は誰であるのかについて、よく調べずに Zermelo さんであると即断するのは、もしかすると危険かもしれない。それは Peano さんや Levi さんかもしれず、あるいは他の誰かかもしれない*5。しかし、まぁ、いずれにせよその場合でも Zermelo さんの重要性はいささかも揺るぎはしないのでしょうけれど…。

一番上に引いた Cantini さんの文が私にはちょっと意外でしたので、若干調べてみました。
なお、言い添えておくと、最初に上げた Cantini さんの文では、Levi 1902年文献で Berry's paradox, Richard's paradox が論じられているように感じられるかもしれないが、二番目に上げた Cantini 文献の p. 895 を見ると、 Berry's paradox, Richard's paradox が論じられているのは Levi 1908年論文のようである。紛らわしいように思われるので、ここに注記しておきます。

もう一つ加えておくと、田中先生の選択公理の本や、Ebbinghaus with Peckhaus さんらの Zermelo 本では、Levi に関する話は出てきていないように見えます。

*1:ニコラ・ブルバキ、『ブルバキ数学史 上』、村田全、清水達雄、杉浦光夫訳、ちくま学芸文庫筑摩書房、2006年、109ページ、註86。なお、引用文中で1890年の Peano について語られているが、この Peano の話の典拠が、1889年に出版された Peano の文献に置かれており、不整合である。どうしてそうなっているのか、私にはよくわからない。一応そのまま引用しておく。なお恐らく正しくは Bourbaki らが典拠にしたのは1890年の Peano による文献であると思われる。次の註を参照。

*2:J. van Heijenoort による Zermelo 論文、“Proof That Every Set Can Be Well-Ordered (1904)”への解説。In his ed., From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, 1967, p. 139. この引用文中に出てきている Peano 文献に、上記の Bourbaki は依拠していたのであろうと思われる。

*3:Moss, p. 54.

*4:Moss. p. 55.

*5:Alonzo Church, “[Review of] Douglas Lackey. Essays in Analysis by Bertrand Russell,” in: The Journal of Symbolic Logic, vol. 41, no. 3, 1976, p. 701 をも参照のこと。そこでは Russell さんが Zermelo さんよりも前に the axiom of choice を定式化していた旨が、Church さんにより記されている。さらに次も参照のこと。I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940: Logics, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor through Russell to Gödel, Princeton University Press, Princeton Paperbacks Series, 2000, pp. 340-42. 公表は後になったが、やはり Russell が先に定式化していた旨が、ここでも論じられている。