Neo-Russellian Logicism!?


  • Gregory Landini  “Logicism's ‘Insolubilia’and Their Solution by Russell's Substitutional Theory,” in Godehard Link ed., One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, De Gruyter Series in Logic and its Applications, vol. 6, 2004.


Neo-Fregeanism というものがあります。‘Neo-Logicism’と呼ばれることもあります。あるいは‘Neo-Fregean Logicism’と言われることもあるかもしれません。それは主に C. Wright さん達によって試みられている数学の哲学における program です。どのような program かというと、極めて簡略に述べるならば、Frege はいわゆる Hume's Principle を話題に取り上げた後、それを早まって捨ててしまっているが、その Hume's Principle によれば、Logicism を resurrect できるということを立証する試みです。この試みは現在進行中のようです。

さて、上記の Landini 論文の abstract 末尾には次のようにあります*2

This paper shows that Russell acted to [sic] hastily when he abandoned substitution in 1908. The substitutional theory may well resurrect logicism just as Russell had originally hoped.

また Section 1. Introduction の終わりで次のように述べられています*3

It has been widely reported that logicism is dead, and ideed that it died at Russell's own hands. The doctrine of logicism espoused in Russell's Principles provided no solution of the paradoxes of classes and attributes. Valiant as it was, the ramified type-theory of Principia did not provide a solution either. The system relies upon an axiom (schema) of reducibility and an axiom of infinity, neither of which can be regarded as truths of pure logic. Logicism is dead. Or is it? Not all the options have been explored. Russell's substitutional theory has only recently been uncovered from his unpublished manuscripts. […] As it [sic] heraldic title suggests, the paper [= Russell's 1906 paper “On ‘Insolubilia’ and their Solution by Symbolic Logic”] promises a final solution of the paradoxes plaguing logicism. Alas, Russell abandoned substitution in 1907*4. Instead there was Principia, with legacy of interpreters working with an ontological reduction of classes to a ramified and type-stratified hierarchy of propositional functions. Russell's eliminativism, and the insights of the substitutional theory were lost. But we cannot rest with this as a proper end for the substitutional theory. I hope to show that the ideas Russell set forth for solving the ‘insolubilia’ can be employed to resurrect logicism.

Fregean Logicism の resurrection のみならず、Russellian Logicism の resurrection もあり得るのか? しかもそのような試みがあるだけでなく、そのような試みを完遂することまで可能なのだろうか? Frege が捨てた Hume's Principle で Fregean Logicism を resurrect する試みがあるように、Russell が捨てた Substitutional Theory で Russellian Logicism を resurrect すること、このようなことがあり得るということは、すごい。ちょっとすごいですね。
具体的には Landini さんは、氏の件の論文終わり辺りで、Russell's 1906 paper “On ‘Insolubilia’ and their Solution by Symbolic Logic”に見て取れる Substitutional Theory に拠るならば、Russellian Logicism のつまづきの石である axiom (schema) of reducibility と axiom of infinity を避けることができるとしています*5。実際に axiom (schema) of reducibility を回避し、しかも axiom of infinity を立てずに、それでも entities が無限にあることを証明できるとして、そのことを立証されています。但し、私はまだ Substitutional Theory を充分に理解していないので、Landini さんのこの試みが成功しているのかどうかは、今の時点で私には判断できません。

なお、Landini 論文題名は Russell の、今問題としている論文の題名をもじったものになっています。

  • Bertrand Russell  “On ‘Insolubilia’ and their Solution by Symbolic Logic,” in his Essays in Analysis, Douglas Lackey ed., Allen & Unwin, 1973 (First Published in French in 1906)


もう一つ加えておくと、Landini さんによる Russellian Logicism を resurrect する試みは、件の Landini 論文が初めてという訳ではないようです。少なくとも次の論文で既にそのことが取り扱われているものと思われます*6。論文副題から、そのことが読み取れます。ちなみに私はこの論文は未見です*7

  • Gregory Landini  “Russell's Intensional Logic of Propositions: A Resurrection of Logicism?,” in Francesco Orilia and William J. Rapaport ed., Thought, Language, and Ontology: Essays in Memory of Hector-Neri Castañeda, Kluwer Academic, 1998, Philosophical Studies Series, vol. 76

私は Russell について無知です。Substitutional Theory についてもよくわかっていません。以上の記述に関して何か間違いや勘違いが含まれているとしたら、あらかじめお詫び致します。


*2:Landini, p. 373.

*3:Landini, pp. 375-76.

*4:一つ上の引用文中では、Substitutional Theory が捨てられたのは、1908年となっている。厳密には恐らく1907年中にその理論は捨てられたものと思われる。近日 up 予定の本日記の項目“History of Substitutional Theories”を参照。

*5:Landini, pp. 394-97.

*6:Landini, p. 394, note 17.

*7:先ほどからの Landini 論文で、この論文の名が References に上がっているが、この論文が収録されている本の subtitle が少し間違っているようである。正しいと思われる subtitle に直して記しておきます。