The axiom of choice の歴史を調べようと思って、次の論文を読んでみたら、axiom of choice の歴史とはまた別に、すごく面白いことが書かれている。
- Ivor Grattan-Guinness “Bertrand Russell on His Paradox and the Multiplicative Axiom. An Unpublished Letter to Philip Jourdain,” in: Journal of Philosophical Logic, vol. 1, no. 2, 1972
この論文の後半に Russell が Jourdain に宛てた手紙が掲載されている。そして論文前半に Grattan-Guinness さんの簡単な解説が付されているのだが、Russell の書簡がものすごく面白い。書簡を草した日付は1906年3月15日となっている。記述の理論を思い付いた後、Principia を(本格的に)書き始めたか、書き始める頃の手紙である*1。この手紙の中で Russell はここ数年における自らの考えの展開状況について説明している。The Principles of Mathmatics を刊行した1903年頃から、記述の理論を発見する1905年頃に至る彼の考えの変化を跡付けている。この期間は彼にとって研究成果が上がらず最も苦しんだ時期であり、しかしその間に試行錯誤を繰り返すことで一つの学問的達成へと至る時期でもあった*2。この間に一体何があったのか、大体のところ、何をどういう順番に考えていたのか、この辺りのことが当人の口から聞ける貴重な記録となっているのが件の書簡である。
何はともあれその書簡の一部を以下に引用してみよう*3。長くなるけれど、面白い。読んでいてすごく面白かった。なお、原文では Grattan-Guinness さんにより、具体的な文献名を表す記号が挿入されているが、引用文中では省く。また、Grattan-Guinness さんによっていくつか註も付されているが、こちらも省いて引用する。そして個人的に気になったところに [1], [2], …, などによって、引用者による commentary をわずかばかり付けておく。なお、言うまでもないが、Russell について無知な私が付けた commentary なので、必ず間違いが含まれている。また必ず浅はかな記述も入っている。Commentary の正否については、お読みになられる方の判断にお任せしますが、間違っても鵜呑みになさらないで下さい。加えてこの commentary は暫定的なものです。後日、補足や修正を入れたいと思っています。明らかに入れるべきところがまだ色々とあります。気持ちの上では、最初から出来上がった状態で up したいのですが、年末で少しばたばたしており、書き加え続けていると、どんどん長くなってきて、このままでは切りがないので、年を越してしまう前に、取り合えず up してしまおうと思います。不完全ですがご了承下さい。
I am not sure that I can remember how my ideas developed. But I will tell you all I can. You will see that in my book [= The Principles of Mathmatics] (p. 104, §104), [1] I suggest that certain functions do not determine a class as one. This is practically the same doctrine as that they do not determine a class, for a class as many is not an entity. […]*4 My book gives you all my ideas down to the end of 1902: [2] the doctrine of types (which in practice is almost exactly like my present view) was the latest of them. [3] Then in 1903 I started on Frege's theory that two non-equivalent functions may determine the same class; also I considered whether one should distinguish the two Dfs
[4] xε1u.＝.(∃φ).u＝'z(φz).φx Df
[5] xε2u.＝:(∃φ).u＝'z(φz):u＝'z(ψz).⊃ψ.ψx Df
But I soon came to the conclusion this wouldn't do. [6] Then, in May 1903, I thought I had solved the whole thing by denying classes altogether; I still kept propositional functions, and made φ do duty for 'z(φz). I treated φ as an entity. All went well till I came to consider the function W*5, where W(φ).≡φ.〜φ(φ). This brought back the contradiction, and showed that I had gained nothing by rejecting classes.
The latter part of 1903 and the beginning of 1904 I spent on the Fiscal Question*6. Then in April 1904 I began working at the Contradiction again, and continued at it, with few intermissions, till Jan[uary]*7 1905. [7] I was throughout much occupied by the question of Denoting, which I thought was probably relevant, as it proved to be. [8] A denoting function is, broadly, any function which is not propositional; at times I have used φ‘x for a denoting function and φ!x for a propositional function. [9] The first thing I discovered in 1904 was that the variable denoting function is to be deduced from the variable propositional function, and is not to be taken as an indefinable. I tried to do without i*8 as an indefinable, but failed; [10] my success later, in the article ‘on[sic] Denoting’, was the source of all my subsequent progress. Most of the year, I adhered to the ‘zig-zag’ theory, and worked at different sets of Pp's [= Primitive propositions, namely axioms or inference rules] as to what functions determine classes. But I never got a set of Pp's that would really work, and all the sets were horribly complicated and un-obvious. [11] I soon discovered that the difficulty comes only where ‘all values of φ’ are concerned, and I thought perhaps this was due to a vicious circle, as follows: if
[12] ψx.＝.(φ).f(φ, x) Df,
it is part of the meaning of ψx to assert f(ψ, x); thus ψ asserts something which cannot be defined till ψ is defined, and which is yet presupposed in the Df of φ. Gradually I discovered that to assume a separable φ in φx is just the same, essentially, as to assume a class defined by φx, and that non-predicative functions must be not analysable into a φ and an x.
[13] About June 1904, I tried hard to construct a substitutional theory more or less like my present theory. But I failed for want of the theory of denoting: also I did not distinguish between substitution of a constant for a constant and determination of a variable as this or that constant. Hence I abandoned the attempt to get on by means of substitution.
In 1905 for the first time I worked seriously at Burali-Forti's contradiction. I had never paid much attention to it before, because it was so much more complicated than mine that it seemed likely either to be soluble in some purely technical way, or to be not soluble until mine had been solved. [14] I give a brief account of the results in Section I of my Lond[on] Math[ematical] soc[iety] paper*9. Then I tried a theory that functions are non-predicative when the same variable occurs in positions of different type, i.e., as in xεx, in a position appropriate to an individual and again in a position appropriate to a class (or to a relation, or etc.). This excluded the right cases, but was hard to work technically. My present theory shows why it excluded the right cases, and sbsorbs whatever was right in it.
[15] Then, last autumn, as a consequence of the new theory of denoting, I found at last that substitution would work, and all went swimmingly.
As for the Xve[multiplicative]*10 axiom, I came on it so to speak by chance. Whitehead and I make alternate recensions of the various parts of our book, each correcting the last recension made by the other. In going over one of his recensions, which contained a proof of the Xve axiom, I found that the previous prop[osition]*11 used in the proof had surreptitiously assumed the axiom. [16] This happened in the summer of 1904. At first I thought probably a proof could easily be found; but gradually I saw that, if there is a proof, it must be very recondite.
[1]
ここでは端的に言って、Conprehension Principle, あるいは厳密には述定公理*12 と素朴集合論の原理*13 のことが述べられている*14。大まかに言えば、任意の関数が class を定めるか否かが Russell にとって問題となっていることがわかる。
[2]
The Principles of Mathematics の際の type theory と、その後の type theory とは、とてもよく似ているし、実際上はさして変わりがないが、厳密には異なるということが、ここでの round brackets 内の文言で示唆されている。
[3]
Russell は自らの Paradox を解決できぬまま、The Principles of Mathematics を刊行した。この後にその解決を目指して再度 Paradox と向き合うが、その際の出発点は Frege の研究結果からであったこと、Frege の研究結果を土台として、あらためて Paradox に取り組み始めたことがわかる。Frege からの影響、Frege の研究の Russell にとっての重要性がよくわかる。その際の Frege の研究結果とは、‘two non-equivalent functions may determine the same class’であり、これは Grattan-Guinness さんの註によると、Frege のいわゆる基本法則 V'*15のことだそうである*16。 基本法則 V' では、関数 f と g が同値であることに制限が設けられている。このため f と g は無制限・無条件に同値とされるということはない。こうして厳密には同値とされることのない関数同士が同一の値域を定めるというのが基本法則 V' の内容(の一部)であると見なせる。このようなことを Russell は‘two non-equivalent functions may determine the same class’で述べているのであろう。
[4]
現代の記法に書き改めるならば、次のようになるであろう。これは簡単には、Comprehension Principle のことであると言える。
x ∈ u :＝ (∃φ)[ u ＝ { z | φ(z) } ∧ φ(x) ].
[5]
同様にして、次のようになるであろう。
x ∈ u :＝ (∃φ)[ u ＝ { z | φ(z) } ] ∧ (∀ψ)[ [ u ＝ { z | ψ(z) } ] → ψ(x) ]
[6]
Frege の解決案ではうまくいかないと結論した Russell は、Russell Paradox においては class に関して障害が生じるのであるから、class を一切想定しなければよいと考えたようである。それで class をなしにして、代わりに class が果たしていた役割を命題関数に肩代わりさせて事を解決しようとしたようである。しかし、今度はここから命題関数版の Russell Paradox が生じることがわかり、結局振り出しに戻ったと Russell は述べている*17。 なお、class を関数に代えてやればすべてうまくいくかもしれないという希望は、1903年5月24日付けの Russell による Frege 宛て書簡においても表明されており、この [6] の文を裏付けている。そして今度は1904年12月12日付けの Russell による Frege 宛て書簡において、class なしで済まそうという試みは、ここ一年ほどの間に失敗だったとわかっていた旨が述べられており、やはり [6] の箇所の文を裏付けている*18。
[7]
Paradox を解決する試みを再開した1904年の4月から1905年の1月まで、この間にずっと専心していた問題は denoting の問題だと述べている。そしてその際、denoting の問題が Paradox の問題と関係があるようだと思いつつ denoting について思案していたところ、やはり関係があることがわかったと述べている。denoting の問題は、Paradox の問題と無関係ではないと、薄々感じつつ Russell は denoting について考えていたということがわかる。Paradox が中々うまく解決できず、関連しそうな denoting の問題に取り組むことで、別の角度から Paradox に迫ろうとしていたのかもしれない。正面から攻めて駄目なら、横から攻めてみようとして、やっていたのかもしれない。
しかし、なぜ Russell は denoting の問題が件の Paradox に関係しているかもしれないと思ったのだろうか。Denoting の問題は Paradox の問題とどんな関係にあるのだろうか。後述の [10] の中で、このことに触れたいと思います。
[8]
[1] でも述べたように、元々 Russell は関数について思い巡らせていた。The Principles of Mathematics を出した後、Paradox 解決に再度取り組み始めた時、出発点としたのが Frege の研究結果で、やはり関数が class を規定することを巡って考えを説き起こし始めた。[6] では、class なしで、命題関数という関数を土台に解決を図ろうとした。こうしてここまでの流れからわかるように、何にしろ Russell は関数について思いを巡らして来たとわかる。さて、ここでも再び関数である。Russell はここで大きく関数を二つの種類に分ける。一方は denoting function である。他方は propositional function である。Denoting function とは、何であるのかは、ここにある説明だけでは私には詳しくはわからない。そこで少し調べてみると、denoting function の一例として Russell は the father of x を上げている。その部分を引用しておく*19。
If we consider (say) “the father of ξ”, this is a denoting function. The single meaning (assuming there is one) must be taken to denote the meanings “the father of Socrates”, “the father of Plato”, etc.; but these meanings themselves denote, and propositions in which they occur are about what they denote. Now such a phrase always involves a propositional function: we may take simply “the φξ” as the general meaning. The full meaning is “the term satisfying φξ”. Here the meaning denotes meanings such as “the term satisfying fξ”; and this meaning (apart from convention) only has meaning when fξ has only one root; or rather, it only then has denotation. But “the class of terms satisfying fξ” always has denotation if fξ is a propotitional function. What results is only a function of fξ in a new and larger sense, not in the previous sense of propositional functions. This may have a bearing on the Contradiction.
引用文末尾の‘This may have a bearing on the Contradiction.’が大変興味深い。
ところでこの the father of x は典型的な descriptive function である。ここから推測されることは、descriptive function の集合は、denoting function の集合の(真)部分集合ではなかろうか、ということである。いずれにせよ、descriptive function が denoting function の代表的な例であろうと思われるので、ここではそうであると仮定しておく。さてそれでは denoting function の代表例である descriptive function とはいかなる関数であろうか。Russell の説明によると、それは一対多の関係にある関数で*20、例えば日常的な descriptive function の一つは先ほどにも上げた、x の父、というものである。父親の中には複数の子の父親となっているものがある。どの子にとっても生物学上の父は一人である。ただ一人の父親に対し、複数の子供が存在し得る。このような典型例を持つのが descriptive function である。Propositional function は変数を持っていて、そこに適当な argument を代入してやれば、値として真偽を問い得るものとしての命題を得るものである*21。Propositional function の一例は、x は素数である、というものである。ここでの descriptive function と propositional function の説明は、Russell の Introduction to Mathematical Philosophy に拠っているが、これらの関数の厳密で包括的な特徴付けは、左記の Introduction … だけに拠る訳にはいかないことは、言うまでもない。
[9]
記述の理論を発見する少し前(記述の理論発見は1905年の春である)、Russell は denoting function を propositional function から演繹できるということ、および前者を定義不可能とすることはできないということ、これらのことに気が付いたと、大よそのところ、述べているものと思われる。記述オペレータを定義不可能として未定義なまま前提しつつ事を進めようとしてもうまくいかないということがわかったと述べているようである。
[10]
そして、denoting function を propositional function から定義してみれば、すべてのことがうまくいくと気が付いたのが、のちの例の論文“On Denoting”だということのようである。これはまたあとの話である。
ところで、なぜ Russell は descriptive function が典型例であろうと推測される denoting function をあれこれと問題にしているのであろうか。なぜ descriptive function がそんなに問題なのだろうか。とりわけ Russell Paradox の解決に、なぜ descriptive function がそんなにも問題とされなければいけないのだろうか。この疑問に対する一定の説明が、Michael Potter さんによってなされている。そこで氏の説明を以下でそのまま引用する。私の解説など入れなくても、それで充分明白であろうと思われるからである。
その前に一言しておく*22。まず一般的な背景として、大変大まかに言うならば、Russell は私たちを取り巻くこの世界について、何らの媒介なしに世界の事柄を考えることができるものと思っていたようである。つまり Kant の直観や悟性のカテゴリーなどの主観の側にあるものと思われる媒介項を経ずに、いかなるいみであれ、直接世界を考え得るもとの思っていたらしい。そしてその際、再び大まかに記すならば、私たちの考えを述べるなり、表すなり、担うなり、何かそのような役割を負っていると思われる命題なるものは、それを構成する要素から成っており、その構成要素を私たちは直接考えることができるのだというような感じのことを Russell は主張していたようである。例えば‘Socrates is a philosopher’という文が表す命題は、構成要素の一つとして Socrates を持っており、この Socrates は Socrates 本人であって、本人が先の命題の構成要素となっているが故に、私たちは Socrates について、本人その人に関する考えを持ち得るのだ、というような趣旨の見解を Russell は抱いていたようである。
さらにもう一言*23。Denoting とは何か。Russell によると、それは大体次のようなものである。Russell によるならば‘I met a man’の‘a man’が表すのは、ある concept である。この concept は先の文が表す命題を構成している。そしてこの concept を通じて concept 以外の何か、例えば John または Mary またはその他の誰かを designate している。つまり、私たちは concept の力を借りて、concept 以外の何かを designate できるというのである。Denoting とは、この場合の concept が concept 以外のものを designate するということ、そのことである。
以上を振り返るならば、Russell によると、世界の物事を私たちは主観的な何かを何ら媒介することなしに直接考えることができる。それは、私たちが世界の何事かを考える時にかかわっている命題の構成要素を、私たちが直接知ることができるからである。また、命題の構成要素となり得るものの中には、concept がある。このような concept が命題の構成要素となっている場合には、この concept が世界の何かを designate している(denoting)。以上のように Russell の見解を振り返ることができるだろう。さて、concept が concept でないものを designate できるとは、いかなることなのだろうか。仮にそのようなことができるとして、どうしてそんなことができるのか。そのメカニズムはどのようになっているのだろうか。私たちはこのような疑問を抱くことだろう。これは私たちに限ったことではない。Russell その人も抱いた疑問のようである。とりわけ Russell にとって、問題だったであろうことは、次のようなことであろうと推察される。そもそも私たちは命題の構成要素を直接知ることができるから、世界について知ることができるのだった。もしもそうであるならば、concept が命題の構成要素となっている場合には、世界について私たちは直接には知ることができないと考えられることになる。いかなる性質を持ったものであるかはわからぬが、concept なるものが命題の構成要素、特に命題の主語・主題をなす構成要素となっている場合には、その命題を通しては、たとえ客観的な知識を伝える命題であると見えようとも、世界については私たちは直接知ることができないということになってしまう。Concept と世界の物事とが、denoting するという関係は、きちんと知識を伝えてくれるような透明な(transparent)ものであろうか。Concept が Kant の直観や悟性のカテゴリーのような媒介項となって世界との通路を不透明な(oblique)ものにしてしまってはいないだろうか。このような疑問・不安を Russell は抱いたであろうと推測される。
閑話休題。それではここから Potter さんの説明を聞いてみよう*24。なぜ denoting (description) が Paradox の問題となるのだろうか。
Already in the Principles [of Mathematics]*25 Russell had taken denoting to be the key to understanding our ability to make use of the class of all numbers, because
the concept all numbers, though not itself infinitely complex, yet denotes an inginitely complex object. This is the inmost secret of our power to deal with infinity. An infinitely complex concept, though there may be such, can certainly not be manipulated by the human intelligence; but infinite collections, owing to the notion of denoting, can be manipulated without introducing any concepts of infinite complexity. Throughout the discussions of infinity ..., this remark should be borne in mind: if it is forgotten, there is an air of magic which causes the results obtained to seem doubtful.[Russell, The Principles of Mathematics, §72.]*26
So it was natural that the paradoxes should have led Russell to re-examine his theory of denoting to see whether it did indeed dispel the air of magic which surrounds our talk of the infinite in mathematics and, more urgently, whether it provided the resources to solve the paradoxes. Since it was by now evident to Russell that the solution would involve accepting that some phrases which apparently denote classes do not in fact do so, he took an especial interest in cases (such as ‘the present King of France’) where the denoting concept does not denote anything. Thus he wrote to his wife on 14 April 1904:
Alfred [Whitehead]*27 and I had a happy hour yesterday, when we thought the present King of France had solved the Contradiction; but it turned out finally that the royal intellect was not quite up to that standard.[Russell, Sellected Letters, 2 vols, Allen Lane, 1992-, I, 277.]*28
‘[I]nfinite collections [such as all numbers], owing to the notion of denoting, can be manipulated without introducing any concepts of infinite complexity.’ 注視すべき denoting concept は all numbers だけではない。The set of all sets that are not members of themselves というような denoting concept は、何かを denote するとしたら、それは何をどのように denote しているのだろうか。この疑問を解くことは、Russell Paradox の理解、ひいてはその Paradox の解決に資するものがあるのではなかろうか。まさに、資するものがあると Whitehead and Russell は考えていたようである。‘[W]e thought the present King of France had solved the Contradiction’. この時には叶いはしなかった夢ではあるが、the present King of France が Paradox を解決するはずだと、Whitehead and Russell は考えていたのである。
[11]
恐らく1904年4月以降、程なくして気が付いたのは、関数のすべての値というものに問題の根があるということである。ある関数を定義する際に、その関数自身を前提して定義してしまっているという悪循環が問題の根であるということに気が付いたと Russell は述べている。Poincaré による、悪循環が原因であるという指摘が公表されるのは、1906年であった*29。これに先立つこと約二年前に、Russell は自力で悪循環の問題性に気が付いている。但し、この二年間に Poincaré から私たちの知らない書簡などで悪循環について指摘されていなければである。なお、ここにおいても最初からと同様に、Russell は関数について思い悩んでいる。
[12]
ψ(x) :＝ (∀φ)f(φ, x)
[13]
少なくとも、1904年6月には substitutional theory を思い付いており、その頃にはその理論の構築に励んでいたことがわかる。しかし、記述の理論がまだなかったので、その理論は当時うまくいっていなかったと述べている*30。
[14]
ここで言及されている論文は1906年に刊行された“On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types”のことである。この論文の内容は、1905年12月に講演で発表されている。
[15]
「この前の秋」とは、1905年の秋のことである。なお、記述の理論の発見は [9] でも記したように1905年の春である。この理論を発見した後、substitutional theory がすいすい(swimmingly)動き出したと述べている。やはり記述の理論が鍵だったのである。
[16]
Multiplicative axiom は axiom of choice に相当する公理である(正確には互いに同値な公理である)。Multiplicative axiom を Russell 自身の言葉で記すと次のようである。‘Given any class of mutually exclusive classes, of which none is null, there is at least one class which has exactly one term in common with each of the given classes.’ 「何れも空集合でなく、かつ互いに共通な要素をもたない集合が與えられたとき、各々の集合と一つただ一つの項を共有する集合が少くとも一つある。」*31。また、axiom of choice を Russell 自身の言葉で記すと次のようである。‘[I]f α be any class, and κ all the sub-classes of α with the exception of the null-class, then there is at least one selector from κ.’ 「αを任意の集合、αのあらゆる部分集合(ただし空集合は除く)の集合をκとすれば、[…] κの選擇者は少くとも一つある」*32。Russell によると、Whitehead and Russell は、この multiplicative axiom を1904年の夏には見出していた。この場合、夏というのが何月に当るのか、はっきりしないが、一般通念では恐らく当時のイギリスでも7-8月辺りということになるのではないかと思われる。ところで、Zermelo はいつ彼の axiom of choice を見出していたのかというと、1904年の9月である。より正確には1904年9月17日前後である。この9月17日前後に同僚研究者との会話の中で axiom of choice が口にされたものと考えられ、ペンで記されたのが同年9月24日である*33。これらの話が正しいとするならば、Whitehead and Russell も axiom of choice を、ほとんど同時にか、あるいは少し前に、見出していたということがわかる*34。
以上、概して言えると思われることは、この時期の初めから最後まで Russell は、大づかみに捉えれば、関数について思い悩んでいたということだろうと考えられる。あれこれの関数を、ああでもないこうでもないと検討し続けていたのではないかと思われる。Denoting の問題も、恐らく言語哲学的な問題関心からとともに、数学にしばしば出てくるありふれた関数の一つとして検討していたところ、記述オペレータを定義不可能なものとしてではなく、いわゆる真理関数や量化子、命題関数から定義できるものとして捉え返すことによって、言語哲学的問題を解決することはもとより Russell Paradox を解決する手立てとして理解し、使用し始めるということが、Russell の中で生じていたのではないかと推測される。この時期の Russell にとって、大局的に捉えれば、「関数をどうするか」ということが、一本の中心軸となって彼の研究の流れの中を貫いていたのではなかろうか。(だがこれではいささか大局的に捉え過ぎているし、これほど大まかでは何も特徴付けたことにはならないが、しかし誰かがそう言っているというような伝聞ではなく、自分で Russell の文を読んで、自分で率直に感じ、受け取り得たことなので、雑駁・単純な印象ながら、自分のものとして受け止めておきたいと思います。)
ちなみに Alasdair Urquhart さんは1903年から1905年の Russell を次のように特徴付けていらっしゃいます*35。
The fundational schemes that Russell tried in the years 1903 to 1905 have (in spite of their varied character) some clear common features. They all involve type-free theories of functions, in which the basic idea is to avoid the paradoxes by direct restrictions on the means for defining functions. The hope was to avoid the “bad” definitions leading to paradoxes; an analysis of the paradoxes themselves might reveal what the key features of these inadmissible definitions might be. At the same time, it was essential to retain a sufficiently large stock of functions to deduce the basic axioms of mathematics. However, Russell was never able to carry out this balancing act in a satisfactory way, and all his attempts along these lines (which he described later as the “zig-zag theory”) led to abject failure.
Boldface は引用者によるものです。
最後に、Russell の書簡中からわかる出来事を、その他の文献資料からの補足を一箇所だけ入れながら、簡単な年表にしてみよう。
Chronological table: Russell's attempts to overcoming his own paradox between 1903 and 1905
1902年 大晦日
The Principles of Mathematics 全体の第一稿を書き終える*36。
1903年 1-4月?
Frege の基本法則 V' を検討することから矛盾の解決を探究し始める。そしてすぐにそれではうまくいかないとして、Frege の解決案を却下する。
1903年 5月
Class をなくし、propositional function で解決を図る。しかし再び矛盾が出てきて振り出しに戻る。
1903年 6-7月? から1904年初め
財政問題に専念する。
1904年4月から1905年1月
矛盾を再検討する。この間ずっと頭の中の多くを占めていた問題は、denoting に関するものである。この1904年に denoting function が propositional function から導かれることを発見する。つまり denoting function が定義不可能なものではないことに気が付く。そこで他から定義されないままの i オペレータ*37を使わずにやってみたが、うまくいかない。また、この1904年は ‘zig-zag’ theory を支持し、さまざまな公理系を考えてやってみるが、うまい公理系が見つからない。加えて、1904年4月以降?に(うまくいかない原因として?) vicious circle に問題の原因を見出す。φが impredicative である時、φx を φ と x というように分離すべきではないと思い至る。(これは type の違いを厳守せよ、type theory は正しい、ということに思い至ったということだろうか?)
1904年6月
Substitutional theory の構築に励む。しかし記述の理論がなかったので、うまくいかない。
1904年夏
Multiplicative axiom (Axiom of choice) を思い付く。
1905年
この年に初めて Burali-Forti's Paradox について、真剣に検討し始める。この検討の結果は同年12月に発表され、翌年刊行される。
1905年春
記述の理論を発見する。
1905年秋
記述の理論のおかげで、substitutional theory がすいすいとうまくいき出す。
とりあえず、ここでもうやめます。書いていてちょっと疲れました。まだ補足しなければならないことがたくさんあるが、このままだとまったく書き終わらない。本当に切りがない。実際には Russell の手紙の一文一文に解説を付けるぐらいでないといけない。上記の手紙はそれぐらいの価値と興味のある記録だと思います。いずれにせよ不完全に過ぎるが、時間切れである。新年を迎える前に区切りを付けて、気持ちよく年を越したいと思います。この一年間、当日記をご覧になって下さった方に感謝申し上げます。皆様にとってよい年でありますように。
(以上の記述はよく見直していません。誤字・脱字等がありましたらお許し下さい。また、Russell に対する無理解・誤解があると思います。今後引き続き勉強して参りますので、どうかご容赦下さい。)
*1:Bertrand Russell, Autobiography, Routledge, Routledge Classics, 2009 (Originally Published in 3 vols., in 1967-69), p. 142.
*2:当日記の2009年12月13日‘What is the Significance of the Theory of Definite Descriptions?’を参照。
*3:Grattan-Guinness, pp. 106-7.
*4:ここで引用者が省略した箇所には round brackets を使った Russell による少し長めの補足説明が入っているが、本旨には影響してこないと思われるので省いた。
*5:この ‘ W ’ という文字の上に、ちょうど Hilbert and Ackermann の否定記号のようなバーが付されているが、ここでは省略する。このすぐ後にも‘ W ’ という文字が出てくるが、そこでもバーを省略している。
*6:‘Throughout this period [namely the years from 1902 till 1910] my winters were largely occupied with political questions. When Joseph Chamberlain began to advocate Protection, I found myself to be a passionate Free Trader.’ Russell, Autobiography, p. 143.
*7:ここの square brackets は原文のものである。
*8:この ‘i’ は原文ではいわゆる inverted iota だが、‘i’ で代用した。
*9:ここでの複数の square brackets は原文のものである。
*10:ここでの square brackets も原文のものである。また、ここの‘Xve’における‘ve’は、原文では上付きの添え字になっているが、引用の通りに変更してある。以下同様である。
*11:ここの square brackets も原文のものである。
*12:任意の φ(x) について、∀y [ y ∈ { x | φ(x) } ⇔ φ(y) ]
*13:任意の φ(x) について、{ x | φ(x) } は term である。
*14:述定公理と素朴集合論の原理については、岡本賢吾、「数学基礎論の展開とその哲学」、飯田隆編、『哲学の歴史 第11巻 論理・数学・言語 【20世紀】』、中央公論新社、2007年、292, 294ページを参照。
*15: 'εf(ε) ＝ 'αg(α) ⇔ ∀x [ ( x ≠ 'αg(α) ∧ x ≠ 'εf(ε) ) → f(x) ＝ g(x) ]
*16:基本法則 V' の現代的記法への翻訳は、野本和幸先生に負っている。野本和幸編、『フレーゲ著作集 3 算術の基本法則』、勁草書房、2000年、432-3ページ、訳註 * 60。
*17:命題関数版の Russell Paradox の発見は、The Principles of Mathematics の執筆時ではなく、その本を刊行した後であるという意見は、次を参照。Kevin C. Klement, “The Origins of the Propositional Functions Version of Russell's Paradox,” in: Russell, vol. 24, no. 2, 2004.
*18:G. Frege, Gottlob Freges Briefwechsel mit D. Hilbert, E. Husserl, B. Russell, sowie ausgewählte Einzelbriefe Freges, Mit Einleitungen, Anmerkungen und Register herausgegeben von Gottfried Gabriel, Friedrich Kambartel und Christian Thiel, Hamburg, Felix Meiner Verlag, Philosophische Bibliothek, Bd. 321, 1980, SS. 89, 96. 邦訳 G. フレーゲ、『フレーゲ著作集 第 6 巻 書簡集 付 「日記」』、野本和幸編、勁草書房、2002年、156, 166ページ。
*19:Bertrand Russell, “On Meaning and Denotation,” in his Foundations of Logic: 1903-05, Alasdair Urquhart ed., Routledge, The Collected Papers of Bertrand Russell, vol. 4, 1994, pp. 351-52. This manuscript was probably written in 1903.
*20:Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, Routledge, 1919/1993, p. 46. 邦訳では、『数理哲学序説』、平野智治訳、岩波文庫、岩波書店、1954年、65ページ。
*21:Russell, Introduction …, pp. 155-56. 邦訳 『数理哲学序説』、204ページ。
*22:この一言は、Michael Potter, Reason's Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap, Oxford University Press, 2000, p. 119-21 を、わかりやすく改変・補足したものである。
*23:ここも ibid., である。
*24:Ibid., p. 123.
*25:この square brackets は、引用者が補足したものである。
*26:この square brackets は、原文の脚注をもとに引用者が補足したものである。
*27:この square brackets は原文のものである。
*28:この square brackets は、原文の脚注をもとに引用者が補足したものである。
*29:H. Poincaré, “Les Mathématiques et la Logique,” in: Revue Métaphysique et de Morale, vol. 14, 1906.
*30:History of Substitutional Theories については2009年11月24日の日記‘History of Substitutional Theories’を参照。
*31:Russell, Introduction …, p. 122. 邦訳 『数理哲学序説』、159-60ページ。
*32:Russell, Introduction …, pp. 122-23. 邦訳 『数理哲学序説』、160ページ。
*33:Zermelo による axiom of choice の発見時期については、Heinz-Dieter Ebbinghaus, Ernst Zermelo: An Approach to his Life and Work, in cooperation with Volker Peckhaus, Springer, 2007, p. 53 の説明に負っている。その本の pp. 56-7 には axiom of choice を記しているとされる Zermelo の書簡が写真で掲載されている。
*34:Axiom of choice 発見の経緯については、当日記の2009年10月25日‘Who Was the First to Formulate the Axiom of Choice?’を参照。特にその日の日記の註 5 で、Russell に言及している。
*35:Alasdair Urquhart, “The Theory of Types,” in N. Griffin ed., The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge University Press, Cambridge Companions to Philosophy, 2003, p. 290.
*36:Bertrand Russell, Autobiography, Routledge, Routledge Classics, 2009 (Originally Published in 3 vols., in 1967-69), p. 136.
*37:註 8 を参照。
