現代の形式的理論 (formalized theory) において、定義が導入される際に、それらの定義が満たすべき条件として、少なくとも conservativeness (non-creativity) と eliminability の二つがあることはよく知られている。そしてこれらの条件を最初に定式化したのが Leśniewski であると言われていることも、比較的知られていると思う。私自身、随分前に次の本を
- Patrick Suppes Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, 1957
大学図書室から借り出して、Definition を説明している 'Chapter 8 Theory of Definition' を copy して読んだ時に、上記の二つの条件を最初に定式化したのが Leśniewski であることを知った。(その後、上の Suppes さんの本を Dover の reprint 版で購入した。)
しかし、次の文献を読んでいると
- Rafał Urbaniak and K. Severi Hämäri ''Busting a Myth about Lesniewski and Definitions,'' April 26, 2011, preprint, final version, forthcoming in History and Philosophy of Logic
今取り上げている二つの条件を最初に定式化した人物は、Leśniewski ではないとのことである。それは Lukasiewicz または Ajdukiewicz であるらしい。問題の二つの条件が Leśniewski に由来するという情報は、私も含め、多くの人が 先に挙げた Suppes 本に依拠しているようである。では、この Suppes 本に信憑性はあるのであろうか。Urbaniak and Hämäri 論文の Section 3 'On the origins of the folklore,' p. 8 を見ると、Wilfrid Hodges さんの論文を基にした場合、Suppes 本に信憑性はないようである。これは少し驚いた。Urbaniak and Hämäri 論文で紹介されている Hodges 論文には、おもしろい anecdote があるので、以下でそれを引用してみたい。引用する文献の情報は次の通り。
- Wilfrid Hodges ''Tarski's Theory of Definition,'' in Douglas Patterson ed., New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford University Press, 2008, pp 104-105.
以下の引用文中の '[ ]' は、'[Footnote:]' 以外は、引用者によるものです。'[Footnote:]' は Hodges さんによるものです。Anecdote はこの引用文の最終段落に出てきます。
In the beautiful chapter on Definition in his logic textbook [i.e., Introduction to Logic] (1957), Patrick Suppes offers the following information (p. 153):
(18) Two criteria which make more specific these intuitive ideas about the character of definitions are that (i) a defined symbol should always be eliminable from any formula of the theory, and (ii) a new definition does not permit the proof of relationships among the old symbols which were previously unprovable; that is, it does not function as a creative axiom.*
[Footnote:] *These two criteria were first formulated by the Polish logician S. Leśniewski (1886-1939); he was also the first person to give rules of definition satisfying the criteria.
This footnote of Suppes is widely quoted but completely wrong. The rule (i) about eliminability is central in Pascal's treatment of definition in [De l'Esprit Géométrique et de l'Art de Persuader] in the mid 17th century. Pushing back still further, Porphyry [in his Isagoge] in the third century AD already says that defined terms should be eliminable, and he has a name (antistréphein) for the processes of introducing them into and eliminating them from a sentence […].
The situation with rule (ii) about creativity is worse still. Again the notion is older than Leśniewski, though by a narrower margin. Frege denounced creative definitions (he called them schöpferischen Definitionen) at some length in §143 of his Grundgesetze II […], which Leśniewski knew well. But Leśniewski disagreed profoundly with Frege about creative definitions. On Leśniewski's view,
(19) if one introduces definitions at all, then they should be as creative as possible. (skoro siȩ już definicye wprowadza, to winny one być jaknajbardziej twórcze.) [This sentence is Łukasiewicz's.]
He would certainly not have endorsed Suppes' rule (ii).
In 1996 I met Suppes at the Congress on Logic, Methodology and Philosophy of Science in Florence and asked if he could point me to the source of his footnote; he said no, and recently he confirmed this. I don't know of any place earlier than Suppes' book where one finds these two conditions (non-creativity and eliminability) paired as the conditions for a sound definition, so I think it's conceivable that Suppes invented this criterion of soundness himself.
弘法も筆の誤りというか、勇み足というか、しかし、Suppes 先生も正直でいいですね。とはいえ、おかげでみんな振り回されて、困ってしまいます。
なお、上記引用文中で、eliminability の起源を Pascal と Porphyry に、non-creativity の起源を Frege に、Hodges さんは求めておられますが、非常に厳密に言えば、これらの Hodges さんの主張は、そのままでは受け入れられないかもしれません。
正確であることにこだわって言えば、現代の形式的な理論における eliminability も non-creativity も、何らかの言語 L に相対的な概念であり、L として何を取るかを考慮しないところでは、eliminability も non-creativity もいみをなさない概念です*1。
Pascal と Porphyry の文献を確認していないので全くの推測ですが、二人とも、定義が導入される言語にいかなるものを取るか、などということは、多分考えていなかったと思います。(今問題にしている二つの条件が、フランス語やラテン語と相対的に定まる概念であると考えていた可能性は、ないではありませんが…。) したがって、eliminability が言語に相対的であるということに、思い至っていない状況では、この条件を Pascal や Porphyry に起源を求めることは、厳密・正確ではないと思われます。
Frege についても、§143 of his Grundgesetze II とその前後の section を読むと、non-creativity が言語に相対的であるとは想定されていないので、この条件を Frege に起源を発するものとすることは、厳密・正確であるとは言えないと考えられます。
しかし、まぁ、あまり細かいことを言わなければ、Hodges さんの言う通りだと私も思います。Primitive な ideas については、件の二条件の起源を、Pascal, Porphyry, Frege に求めてもよいのかもしれません。(あるいは、もっと遡るかもしれませんが。) そうすると今度は、primitive ではない、現代の形式的な理論における、言語に相対的な eliminability と non-creativity の起源は誰にあるのか、ということになります。それが Urbaniak and Hämäri 論文によると、Lukasiewicz または Ajdukiewicz ということになるのかもしれません。Urbaniak and Hämäri 論文はまだ読んでいる途中ですので、この後は、この論文に期待してみます。
以上の記述はきちんと読み返していませんので、誤解、無理解、勘違い、誤字、脱字などがあるかもしれません。ここに前もってお詫び申し上げます。
*1:See Anil Gupta, ''Definitions,'' in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008, section 2.3 Conservativeness and eliminability, 'Observe that the satisfaction of Conservativeness and Eliminability criteria, whether in their semantic or their syntactic formulation, is not an absolute property of a definition; the satisfaction is relative to the ground language [language L]. Different ground languages can have associated with them different systems of proof and different classes of interpretations. Hence, a definition may satisfy the two criteria when added to one language, but may fail to do so when added to a different language.'
