(昨日の日記の続きです。)
5. Leśniewski の方法への批判 (Church, Prior 先生)
さて、section の 4. において、Leśniewski の定義の方法とその根拠が簡潔に示されていましたが、当然、その方法に対する批判もあります。次にその批判を見てみます。まず以下をご覧ください。
- Alonzo Church ''[Review of] Jan Lukasiewicz. On variable functors of propositional arguments. Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 54 section A no. 2 (1951), pp. 25-35. C. A. Meredith. On an extended system of the propositional calculus. Ibid., no. 3 (1951), pp. 37-47.,'' in: The Journal of Symbolic Logic, vol. 16, no. 3, 1951, p. 229. In the following quotations, we added footenotes. They are not Professor Church's.
In discussing the formulation of definitions […], Lukasiewicz asserts that the ''= Df'' of Principia mathematica must be considered as an additional primitive of the system of Principia. And it is said that Leśniewski reduced the number of primitives by expressing definitions as material equivalences, i.e., as EPQ rather than P = Q Df. […] The reviewer would protest that the ''= Df'' of Principia is better regarded as a notation of the meta-language. In fact a definition is for Russell ''simply and solely a statement of a symbolic abbreviation: it is a proposition concerning symbols, not concerning what is symbolized'' (1116, §412)*1 − or as this account is modified in Principia: ''A definition is concerned wholly with the symbols, not with what they symbolise. Moreover it is not true or false, being an expression of a volition, not of a proposition.... Theoretically, it is unnecessary ever to give a definition''(1941, Introduction, Chapter I)*2. Leśniewski expresses definitions in the object language. But, in the reviewer's opinion, Leśniewski's merit in this connection lies, not in this departure from the procedure of Principia, but in his having observed that IF definitions are to be expressed in the object language then formal rules of definition are a necessary part of the primitive basis of the object language. This is an important point not touched on by Lukasiewicz. And (as here given) the Lukasiewicz-Meredith systems are deficient from Leśniewski's point of view, in that rules of definition are not stated.
私訳/試訳は次です。
定義の定式化を論じる際 […], Lukasiewicz は Principia Mathematica の ''= Df'' を、Principia 体系に付け加えられた原始名辞と見なさねばならない、と主張している。そして、Leśniewski は定義を実質的同値関係、つまり P = Q Df ではなく EPQ と表現することで、原始名辞の数を減らしたと言われている。[…] 評者としては、Principia の ''= Df'' は、メタ言語の記号と見なす方がよりよい、と主張したい。事実、定義は Russell にとって、「ただひとえに記号を省略することを述べた言明にすぎない。つまり、それは記号に関する命題であって、記号化されるものに関する命題ではない」(1116, §412) − あるいはこの説明は Principia で修正されているのだが、「定義はもっぱら記号にかかわっているのであって、記号が表わしているものにかかわっているのではない。さらにそれは真または偽ではなく、意思の表現であって、命題の表現ではない ... 。理論的には定義を与えることはまったく不必要である」(1941, 序論、第I章). Leśniewski は定義を対象言語で表現している。しかし、評者の見解では、この点に関し、Leśniewski の優れているところは、Principia の手続きから今述べたごとく距離を取っていることにあるのではなく、仮に定義を対象言語で表現したいのならば、その時は、形式的な定義の規則がその対象言語の原始的基礎の必要な部分となるということを、彼が見て取ったことにある。これは、Lukasiewicz が触れていない重要な点である。そして (この書評で提示したように) Lukasiewicz-Meredith 体系は、定義の規則が述べられていないという点で、Leśniewski の観点からは不備を有するのである。
Leśniewski の定義観に対する Church の反論によれば、「Principia の ''= Df'' は、メタ言語の記号」なのだ、ということです。
ここで少し、話の本筋から脱線させていただきます。
この書評で Church は、定義を行なうのに object language だけで絶対してはならない、と言っているわけではありません。しかし私たちの大半は、この Church の批判を引き受けて、Leśniewski の定義観に対し、やはり object language だけで定義を行なうべきではないのだ、と主張するのではないでしょうか。
ところで Leśniewski の Protothetic は、primitive term として同値記号を取ることができるということに気が付いたところから創始された論理だったと思います。もちろんその論理では、定義記号も、meta-language に属する特別な語彙を用いるのではなく、当該論理の object language に属する同値記号を用いて行なわれます。つまり、命題論理の命題結合子として同値記号を無定義の原始的な論理定項として採用することができると同時に、定義記号としてもその定項を用いてよいということに気が付いたところに Protothetic は成立しているのだと思います。
しかしそうだとすると、私たちの主張するように、Protothetic では、定義を object language だけで行ってはならないという禁則に触れていることになります。Protothetic は、定義に関する禁止事項を破ったところに成り立っている、と言えるのかもしれません。
かつて Quine は、modal logic の躍進を揶揄するかのように、次のごとく言いました。'Modern modal logic was conceived in sin: the sin of confusing use and mention.'*3 これは大変有名な発言ですが、思うにこれと同種のことが Protothetic に、ひょっとすると、言えるかもしれません。その場合には、さしずめ次のようにでも表現できるでしょう。すなわち、'Lesniewski's Protothetic was conceived in sin: the sin of confusing use and mention, namely the sin of confusing the object language and the meta-language.' 本当にこのように言っていいのかどうか、今の私には確定的なことを言える材料がそろっておりませんので、最終的な判断は開いたまま置いておきたいと思います。(なお、Leśniewski に対し、「あなたは meta-language と object language を混同してしまっている！」という批判が当たっているとするならば、それはちょっと皮肉なことだと思います。というのは、そもそも meta-language と object language を、歴史上、最初に明確な形で区別して logic に取り入れたのは Leśniewski その人であると言われているからです。次を参照ください。藁谷敏晴、「レシニェフスキー」、『哲学』、第6号、vol. III-1, 臨時増刊 「生け捕りキーワード '89, ポスト構造主義以後の最新思想地図」、哲学書房、1989年、58ページ。)
閑話休題。
Leśniewski の見解とは異なり、Principia の定義記号は meta-language の語彙なのだという書評中の Church の反論は、そもそも Russell の見解に由来していました。ということはつまり、Church の反論は、結局現代の通説を述べているものと見なすことができると思います。再確認しておきますと、Church の書評中での Leśniewski に対する反論は、定義記号は Leśniewski の言うように object language に属するものではなく、meta-language に属するのだ、ということと、この反論は Russell に根拠を置いていて、そのことから Church の反論は現代の定義観の通説を支持するものであろう、ということです。
もう一つ、Leśniewski への反論を引用してみます。
- A. N. Prior Formal Logic, 2nd ed., Oxford University Press, 1st ed., 1955, 2nd ed., 1962
から引きます。
Leśniewski himself, and some of his earliest collaborators, were particularly interested in the extension, by the use of quantifiers and functional variables, of versions of the propositional calculus in which the only undefined truth-functor is E, 'If and only if'.
Just as there is a restricted segment of the propositional calculus in which no symbols are needed but propositional variables and the operator 'C', so there is another restricted segment in which no symbols are needed but propositional variables and the operator 'E'. We may call this the 'equivalential' calculus. Among the more obvious theses occurring in it would be Epp, EEpqEqp, and EEpqEEqrEpr, or in the Peano-Russellian symbolism, p ≡ p, p ≡ q .≡. q ≡ p, and p ≡ q :≡: q ≡ r .≡. p ≡ r.*4
Leśniewski's special interest in a protothetic with an 'equivalential' basis arose from a theory he held respecting the nature of definition in formal systems. In his view, the simplicity achieved by Sheffer and Nicod in defining all truth-operators in terms of 'D' was to some extent spurious, for 'D' is not really the only undefined symbol employed − there is also the '=' used in the natural process of definition. Moreover, the rules of inference employed in such a system as Nicod's include not only the rule of substitution and the rule of detachment associated with 'D' but also the rule of mutual substitutability of defined and defining formulae associated with '='. If we had to begin with no truth-operator but 'E', with the rule of substitutability of equivalents proved and derivable, the simplicity achieved would not be spurious but genuine, for we could use 'E' (or in the other symbolism, '≡') instead of '=' for definitions. Consequently in Leśniewski's writings, and in those who follow him at this point (e.g. Tarski and Sobociński), definitions are always written, not with a special symbol, but as equivalences.*5
I have outlined this account of definitions as assertions of equivalence partly because the logicians who have espoused it − including Leśniewski, Tarski, Sobociński, and with modifications Lukasiewicz and Meredith − are about as distinguished a group as any theory could master, and partly because it has had such fruitful by-products (the definition of 'K' in terms of 'E' and 'Π', and the metalogical theorem reproduced in the last paragraph, are solid achievements). But I shall not conceal my own belief that it is wrong-headed. A grave objection to it is that it makes it difficult to distinguish between the definitions of a system and additional axioms; and the use of '=' can be defended against the charge of being a surreptitious introduction of a new primitive symbol. The authors of PM [Principia Mathematica], for example, argue that definitions are not genuine parts of the deductive systems to which they are attached, but simply indicate alternative ways of symbolizing the same thing within the system. On this view − and this consequence of it is made very explicit by Whitehead and Russell − all defined symbols are in principle superfluous; the entire system could be set forth without them, only it would then be insufferably cumbrous. For example, if 'C' be defined as 'AN', the thesis 'CCpqANpq', 'If if-p-then-q, then either-not-p-or-q['], really tells us no more than 'CANpqANpq', 'If either-not-p-or-q then either-not-p-or-q', and both of them say the same thing as 'ANANpqANpq', 'Either not either-not-p-or-q, or either-not-p-or-q.' These three theses are in fact no more than three ways of writing a single thesis. And the 'rule' that we may pass from any one of them to either of the others (and also, of course, to 'CANpqCpq' and 'CCpqCpq') is not a rule of inference at all, but simply a rule of translation. No doubt, where α = β by definition, the thesis Eαβ will in general hold; but it holds simply because it is a way of writing Eαα (or Eββ), which is a result of substitution in the law of identity.*6
私訳/私訳を掲げます。
Leśniewski 自身と、幾人かの、彼の最初期の共同研究者たちは、唯一の無定義真理関手が E, すなわち「の時、かつその時に限る」であるような命題計算のいくつかのバージョンを、量化子と関数変項を使うことで、拡張することに、とりわけ興味を持っていた。
命題変項と演算子 'C'*7 以外には記号を必要としない命題計算の限定された部分があるのとちょうど同じように*8、命題変項と演算子 'E' 以外には記号を必要としない別の限定された部分がある*9。我々はこれを「同値」計算と呼ぶことができる。そこに現われるより明白なテーゼには、Epp, EEpqEqp, そして EEpqEEqrEpr があるだろう。あるいは Peano-Russell 記法では、p ≡ p, p ≡ q .≡. q ≡ p, そして p ≡ q :≡: q ≡ r .≡. p ≡ r があるだろう。
「同値」を基礎に取る protothetic に対し Leśniewski が特別に抱く関心は、形式的体系における定義の本質に関して彼が抱いていた理論から生じた。彼の見解によると、'D'*10 によってすべての真理演算子を定義する際に Sheffer と Nicod が達成した単純化は、かなりな程度*11、見かけ倒しのものだった。というのも、実際に 'D' だけが唯一の無定義記号として使われていたのではないからである。定義をする際、自然な流れから '=' も使われていたからである。その上、Nicod のものに見られるような体系で使われている推論規則には、'D' に関連した代入の規則と分離則だけでなく、'=' に関連した、定義し、定義される式の、相互代入可能性の規則も含まれる。同値記号の、証明され導出可能な両辺に関する代入可能性の規則と共に、'E' 以外の真理演算子で体系を創始する必要がないならば、達成される単純化は見かけ倒しではなく本物であろう。というのも、我々は、定義に対し '=' ではなく 'E' を (あるいは他の記法では '≡' を) 使うことができるだろうからである。それ故、Leśniewski の著作では、および今の点で彼に従う者たち (例えば、Tarski と Sobociński) においては、特別な記号を使わず、同値式として常に定義を書くのである。
私は、同値式の主張としての定義というこの説明を概説してきたが、そうしたのも一部には、その説がいかなる理論をも習得できてしまうほど卓越した論理学者のグループ − Leśniewski, Tarski, Sobociński と、条件付きで Lukasiewicz と Meredith を含む者たち − によって支持されたからであり*12、また一部には、その説が先述のような実り豊かな副産物 ('E' と 'Π'*13 による 'K'*14 の定義、および直前の段落で再構成してみせたメタ論理の定理は、揺るぎない達成である) をもたらしたからである。しかし、その説は間違っているという私自身の思いを、私は隠し立てするつもりなどない。その説に対する重大な反論は、こうである。つまり、その説だとある体系が持っている定義とその体系に加えられる公理との区別が困難になる、ということである。しかも、新しい原始記号を黙って導入してしまっているという咎に対しては、'=' の定義における使用を擁護することができるのである。例えば、定義は、本当のところ、それが付け加えられる演繹体系の部分ではなく、その体系内で同じことを記号化する別の方法を示唆しているにすぎないと、PM [Principia Mathematica] の著者たちは主張しているのである。この見解によれば、− そしてこの見解から出てくる次に述べるような帰結を Whitehead と Russell は、はっきりと明示しているが − すべての被定義記号は原則的に余計なのである。つまり全体系は定義なしでも提示することができ、ただそうすると耐え難いまでに式が冗長になるだろうというだけのことなのである。例えば、'C' を 'AN'*15 と定義すれば、テーゼ 'CCpqANpq', すなわち「もし、もし p ならば q である時、その時は p でないか q である」は、実際には 'CANpqANpq', すなわち「もしも p でないか q であるならば、p でないか q である」ということ以上のことは述べておらず、そしてこれらはともに 'ANANpqANpq', すなわち「p でないか q である、ということではないか、p でないか q である」ということと同じことを言っているのである。これら三つのテーゼは、事実、ただ一つのテーゼを書き表す三つの方法以上のものではない。そしてこれらのうちのどれか一つから他のうちの一つに移行すること (そしてまたもちろん 'CANpqCpq' と 'CCpqCpq' への移行) を許す「規則」は、推論規則ではまったくなく、単なる翻訳の規則である。疑いなく、定義によって α = β である場合、テーゼ Eαβ は一般に成り立つだろう。しかしそれが成り立つのはただそれが Eαα (または Eββ) を書き表す一つの仕方にすぎないからであり、同一性の法則により、代入を施した結果だからである。
この Prior の反論も Russell に根拠を持っており、定義記号は当の論理体系に含まれる語彙ではあってならず、その体系外の語彙、ここでは Church と同様に、メタ言語の記号でなければならないとし、さもなければ Leśniewski がやるように、定義記号は同じ一つの言語体系の語彙となって定義式と公理とが区別できなくなってしまう、と言って批判しています。
6. Church, Prior への疑問、および現代において Leśniewski の方法からくみ取ることができるかもしれないこと (八木沢先生)
Church, Prior への、Leśniewski 側からの疑問
上に見る Church と Prior の、Leśniewski に対する反論は、どちらも Russell たちの見解を引き合いに出すことで、行われています。「Professor Leśniewski はご存じでないのかもしれないが、そもそも Russell たちは定義記号を当該の体系の語彙とは見なしておらず、その体系以外の語彙と見なしているのだから、Leśniewski がやるように、当該の体系の語彙として定義のための記号を扱うことは、間違っている」というわけです。ただ、このような反論に対して Leśniewski は困惑を覚えるだろうと推測します。というのも、Leśniewski としては、Russell たちの定義論を踏まえた上で、あえて、わざと自身のような定義論を展開しているだろうからです。当然のことながら、Leśniewski は Russell たちの定義論を熟知していたはずです。知らなかったはずなどということはあり得ません。むしろ、おそらくですが、Leśniewski は Church, Prior 両人よりも、ひょっとするとはるかに Principia に精通していた可能性さえあり得ます。というのも、Russell たちの Principia における定義論は、その本の初めの方に書かれていますが、Leśniewski は同じく Principia の初めの方に書かれている assertion sign '⊢' について、たぶん他に類を見ないほど、かなりこまごまと分析していたり*16、Principia を読む際に、ものすごく厳密に詳しく読もうとしたため、大学の一学期を丸々使ったが、1ページしか進まなかったという噂があったり*17、Principia を Poland 語に翻訳しようと企てたりしたことがありました*18。このようなことから、 Leśniewski は Principia の定義論をよく知らないまま、自身の定義論を提示していたのではなく、知っていながらそれでもわざわざ意図的に Principia の定義論とは異なるような自分の定義論を提起しているのです。ですから、単に「Principia の定義論には、こう書いてある」と言って反論するだけでは、説得力が不足していると考えられます。
また Leśniewski は、Russell たちの定義論がどのようなことを主張していようとも、それとは別に、人々が実際にどのように定義を行っているのかを注意して見てみることで、人々が実践している定義が、厳密には Russell たちの言う通りに当該体系外の語彙を持ち込むことで行なわれておらず、現実には当該体系内の語彙として使われ、行われてしまっているさまを観察することで、そのことを前提に、自身の定義論を展開しています。ですので、Church と Prior の、Leśniewski に対する反論は、どちらもいわば建前と本音のうち、建前だけに沿って反論されているものであり、本音のところが考慮されていない、実情を考慮していない、筋違いの反論だと言えるかもしれません。Leśniewski は、理屈はどうあれ、実際に行われている様子を前提に論を進めており、実際の定義の実践を前提にした上で、その定義の在り方が不十分なものにとどまっており、もっと突き詰めて行くことができるとして、自分で定義の在り方を突き詰め、追究してみせている、と考えられます。
このように Leśniewski は、Russell たちの定義論を知っていながら、それでも自分なりの定義論を展開しているということと、現実の定義実践を厳密に解すれば、不十分なところがあるから、そこを突き詰めようとしている、ということが言えると思われます。ですから、Church と Prior の、Leśniewski に対する反論は、若干の point のずれを感じさせるものがあります。
現代の哲学において、Leśniewski の方法からくみ取ることができるかもしれないこと
以上、私たちは現代の哲学的論理学における定義観の通説をまず最初に確認し、そしてその通説の起源である古典的な定義観を垣間見て、それから Leśniewski の定義論を見ました。その後、今述べた古典的定義観と Leśniewski の定義観を比較し要点を確認し、それから Leśniewski の定義観に対する反論を二つ引きました。そのようにしたのち、二つ引いた反論に対し、疑念を提示しておきました。しかし、疑念を提示しましたものの、それでもほとんどの方々が Leśniewski の定義観を受け入れようとはされないものと想像致します。私にしましても、上で話をしました程度の疑念では、Leśniewski の定義観を受容しようという気には、正直、なれません。ただ、受容しなくとも、Leśniewski の定義観が、若干であれ検討に値するものを持っているかもしれないと感じさせる話を以下では示唆したいと思います。この話は単なる示唆にとどまります。詳説は今の私にはできません。単なる示唆にすぎませんから、あるいはあとで、その示唆についてよく考えてみたら間違いであったということが判明するかもしれません。でも、まぁ、とにかく、話を続けましょう。
上記の Church による反論では、Leśniewski は定義を meta-language によって行うのではなく、すべて object language で行ってしまっていると言って批判していました。一般に定義とは meta-language でもって、長々とした表現を手短な表現に言い替えることを第一の目的とした行為であると言われます。しかし Leśniewski は定義を全部 object language だけで行ってしまっている、というわけです。この批判によると、現代の定義は nominal definition になっているということであり、それに対し、Leśniewski の定義は、少なくとも広いいみでの real definition になってしまっている、と言っているものと解することができます。現代の定義観の一般的趨勢が、もしも今述べたように、定義の主流は nominal definition であり、何であれ、real definition の類いなんかではない、というのが正しいのならば、そして私自身最近まで、現代の論理学の定義と言えば、Aristotle に由来するのような real definition などではなく、Russell らの nominal definition こそが学問的な意義を持っているのだと感じてきたのですが、そうすると Leśniewski の real な definition など、まったく考慮に値しない、時代遅れで価値のないものだ、と思われます。
しかし、どうも、時代はそうではない、と言えるかもしれません。次の文章をお読みください。特に、引用文の最後にご注目ください。
一九六〇年代までの分析哲学における大筋の流れでは、おもに論理実証主義の影響により、様相は言語の規約の帰結にすぎないと見なされていた。「恒星は天体である」が必然的に真だということは、「恒星」という言葉の使い方に関する規約以外の根拠をもたないとされていた。命題の必然性とは、その命題を表現する文の否定文が言語の規約に違反するということ以外の何事でもないとされていた。それに対してクリプキーは、「恒星は天体である」の必然性とは「恒星」という言葉や言語の規約についての事実ではなく、恒星というものについてそれが天体性という性質を欠き得ないという事実なのだ、と主張した。天体であるという性質は恒星というものの本質であって「恒星」という言葉の意味の問題とは切り離して考えるべきだと強調する彼は、定義の対象はものであって言葉ではないとするアリストテレス流の考え方をしていたのである。
分析哲学にとって、metaphysical turn/ontological turn を経た現代においては、定義とは、第一に言って、real definition なのだ、ということです。Kripke 以降の私たちにとって、定義とは、まず何よりも、object language によってなされる real definition なのだ、ということです。
現在、定義論の形勢/情勢は、nominal な定義から、real な定義へと進行しているのかもしれません。そのことは Kripke が体現しているのかもしれません。八木沢先生の Kripke によると、「恒星は天体である」が必然的に真であるのは、この文の主語と述語のいみにより、その文が必ず真になるように規約されているという言語的なものに依ってのことではなく、恒星という概念に、天体であるという性質が本質的に備わってのことである、と言えると思います。そうすると、ここでの必然的真理は nominal なものではなく、real なものなのだ、ということになるでしょう。こうして定義の考え方がこのような情勢の流れの中にあるのならば、研究上の考察の対象を nominal な定義だけに限定していることは許されず、real な定義をも、十分に検討、展開せねばならない、ということになりそうです。
ところで定義を nominal なものとせず、real なものとし、meta-linguistic なものとせず、object language の level で展開したのは、見てきた通り、Leśniewski でした。彼の行なっている定義の実践は、real な定義を展開しているものと言えます。Nominal でない real な定義を展開する Leśniewski の定義論は、奇妙で minor なもののように感じられるかもしれません。しかし、以上の情勢分析が、大筋だけでも正しいならば、Leśniewski の定義論は、無価値で考察するにまったく値しない、とまでは断言できないかもしれません。むしろ、彼の定義論から、現代の哲学、とりわけ分析的形而上学、分析的な存在論に対し、何か有益な hint を見つけ出すことができるかもしれません。ひょっとすると、現代の分析的形而上学の先駆的業績を含むものとして Leśniewski の定義論を再評価することさえ、もしかしてもしかすると、できるかもしれません。このように考えるならば、Leśniewski の定義論を再確認した今回の試みは、ただの酔狂なままごと遊びではない、と言えるかもしれません。と、言ってみましたものの、う~む、どうなんでしょうかね。ちょっと、ぶち上げすぎかもしれませんが…。そのようでしたらすみません。何だか大げさな気もしています。でも、まぁ、少しぐらいは Leśniewski の定義論を勉強してみるのも悪くないような気はしています。
なお、Leśniewski の定義は、よく知られているように、creative なものです。しかも、そもそも real な定義は、実在世界の探究と発見を伴っているものではなかったでしょうか。とすると、定義が creative であることは欠点ではなく、望ましい性質であり、まったくもっともな特徴である、と言えるかもしれません。このあたりについても、本当にそうかどうか、今後勉強して考えて行きたいと思います。
これで終ります。まだ私は勉強中の身ですので、以上の話には、間違いが含まれているかもしれません。そのようでしたら大変すみません。誤字、脱字に関しましてもお詫び申し上げます。私は Leśniewski の専門家ではありませんので、彼の著作に精通しているわけでもありませんから、昨日と今日の話は、必ず割り引いて受け取ってくださいますようお願い致します。
*1:1116 is the reference number of Principles of Mathematics.
*2:1941, also, is the reference number of Principia. The above quotation from Principia is slightly different from the original.
*3:W. V. Quine, ''Reply to Professor Marcus,'' in his The Ways of Paradox and Other Essays, revised and enlarged ed., Harvard University Press, 1976, p. 177. This review was presented in 1962.
*4:Prior, Formal Logic, p. 94.
*5:Prior, Formal Logic, pp. 96-97.
*6:Prior, Formal Logic, pp. 97-98.
*7:これは条件法のこと。
*8:ここではいわゆる Poland 記法が念頭にあるのでカッコがなく、そのため命題変項と含意記号 'C' 以外には記号が必要ないと言われています。
*9:ここでも直前の註での記述と同様に、Poland 記法が念頭にあるため、カッコのことは考えられていません。
*10:D とは、連言の否定としての Sheffer 関数のこと。
*11:'to some extent' は、通常、「ある程度」と訳されますが、ここではそのように訳すと不自然ですので、'to some extent' の 'some' は強調の 'some' と理解して、訳しております。
*12:ここではなぜ特異な Leśniewski 流の定義観をわざわざ説明してきたのか、その理由を Prior さんは述べており、そのことが一読してよくわかるようにするため、英語原文をそのまま訳さず、和訳に際しては、英文とは異なる力点の置き方で訳出しております。また、英語原文中に、'a group as any theory could master' とあり、この語句の中の 'any theory' は 'could master' の主語のように見えますが、そのようにすると文意が取れないと思いますので、'as' が関係代名詞で、その前の 'a group の代りをしており、この関係代名詞がその後の 'could master' の主語であって、'any thoery' は 'master' の目的語であり、倒置されて 'could master' の前に来ている、と解して訳しました。誤解、誤訳しておりましたらすみません。
*13:これは普遍量化子のこと。
*14:これは連言のこと。
*15:これは否定と選言の組合せのこと。
*16:Stanisław Leśniewski, ''On the Foundations of Mathematics,'' translated by D. I. Barnett, in S. J. Surma, J. T. Srzednicki, D. I. Barnett eds., with an Annotated Bibliography by V. Frederick Rickey, S. Leśniewski Collected Works, Volume I, PWN-Polish Scientific Publishers and Kluwer Academic Publishers, Nijhoff International Philosophy Series, vol. 44/I, 1992, Chapter I.
*17:Rafal Urbaniak, Leśniewski's Systems of Logic and Foundations of Mathematics, Springer, Trends in Logic, vol. 37, 2013, p. 66. この噂の source は A. W. Mostowski 先生です。その噂の内容を同じ page から引用しておきます。原注は省きます。'Leśniewski's criticism of Russell was actually a little bit more complex. Rumour has it that Leśniewski devoted one of his Warsaw seminars to Principia Mathematica. It took him (the legend continues) one semester to read one page with his students. Indeed, a distinctive feature of Leśniewski's style is that he always very meticulously (and somewhat uncharitably) tries to reconstruct the view that he is about to criticize. To the best of my knowledge there is no written account of the content of the famous seminar. However, when Leśniewski started publishing his On the Foundations of Mathematics series, the first chapter (included in his 1927) titled ''On some questions regarding the sense of the 'logistic' theses'' was devoted to a criticism of Principia Mathematica.'
*18:Jan Woleński, ''Polish Logic,'' in his Historico-Philosophical Essays, vol. 1, Copernicus Center Press, 2013, p. 218, and Jan Woleński, ''Principia Mathematica in Poland,'' in Nicholas Griffin and Bernard Linsky eds., The Palgrave Centenary Companion to Principia Mathematica, Palgrave Macmillan, History of Analytic Philosophy Series, 2013, p. 38. 後者の文献によると、Leśniewski は翻訳書の出版社まで既に見つけていた可能性があるとのことです。しかし、結局翻訳の出版は断念されました。
