私は、なぜ Frege が Russell Paradox に足をすくわれたのか、その原因究明に関心があります。Frege は自身の論理体系が Russell Paradox に遭遇するとわかった後、すぐにその体系に修正を施しました。これにより、この修正された体系からは、さしあたり、矛盾は出てこないものと見込まれました。しかしのちになって、Leśniewski がその修正版の体系からも矛盾が出てくることを証明したと、弟子の Sobocinski が報告しています。修正版論理体系からの矛盾発見の、最初の報告です。
私はこの報告の中にある、Frege の修正版論理体系から矛盾が出てくるという Leśniewski の証明を、二、三度、繰り返し読んでみたことがあります。Sobocinski の論文では、問題の証明の全 step までは明記されていなかったので、極力全 step を自力で書き出しつつ全体を follow したところ、私個人では一つか二つの step に不安を覚えるのですが、おそらく本当に矛盾が出てくるみたいな感じです。
ただそうだとしても、私には他に不安があります。と言うのは、この証明が Leśniewski の Ontology という彼特有の体系に基づいているという点です。この体系には、独特な無定義語 'ε' が含まれています。問題の証明は、無定義語 'ε' を含んだこの独特な体系に、素朴集合論の術語を追加して行われています。したがって、Frege の修正版論理体系から矛盾が出てくるという Leśniewski の証明を正しく理解するためには、'ε' が出てくる式を正確に把握する必要があります。
さて、時々思い出しては Leśniewski の logic について勉強したり、復習したりしているのですが、正直に言って、私はいまだに基本的なことがよくわかっていません。Leśniewski の logic の一つである Ontology に関し、基本的なことであるにもかかわらず、私がよくわかっていないことと言えば、先ほどの term 'ε', またはこの term が出てくる式が、正確に言って何をいみしているのか、ということです。この term はわかりにくいのですが、それは私の頭の能力が足りないことが第一の原因でしょうけれども、それにしても、なにゆえこれはこんなにもわかりにくいのでしょうか？*1
以前からこのような疑問を抱いてきたのですが、先日、この疑問に対する答えの一端がわかったような感じがしましたので、今回はそのことについて記してみたいと思います。Leśniewski の考えについて関心を抱いているかたは、ほとんど皆無に近いと推測しますが、私は何だかこの人の考えがちょっと気になるのです。
まず、'ε' は、英語で言えば繋辞としての be 動詞に対応していると一般に言われています*2。ところで英語における繋辞としての be 動詞が持つ論理的ないみには、おそらく次があると考えられていると思います。(以下、「繋辞としての be 動詞」をすべて単に「be 動詞」と略記します。)
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- 要素関係 membership-relation: ''Socrates is a man.'' (一つのもの Socrates が、人間の集合/クラスに属する。)
- 包含関係 inclusion-relation: ''The dog is an animal.'' (犬であるものの集合は、動物であるものの集合に含まれる。)
- 同一性関係 identity-relation: ''Socrates is the husband of Xantippe.'' (Socrates は、Xantippe の夫である人物と同一である。)
- 述定 predication: ''Socrates is human.'' (Socrates は、人間であるという特徴/性質/属性を持つ。)
- 存在 existence: ''Socrates is.'' (Socrates が存在する。)
Be 動詞の論理的ないみについて、これらの違いが存するということは、現在、学校で論理学を学ぶなら、明示的に教えられるか、またはそうでない場合にも、私たちが論理学の学習を通して、暗黙のうちに理解、習得していることだと思います。というのも、現代の論理学では上の五つを区別することが、基本的かつ必要不可欠なこととなっているからです。これら be 動詞のいみの違いを把握することが、現代の論理学にとって決定的に重要であるということについては、次の有名な文章がその一部を証し立てています。引用してみましょう。ただし、この引用文をどう解釈すべきかについては、ここでは立ち入りません。なお時間のないかたは、次の二つの引用文を skip していただいても構いません。論述を追うのに支障はありません。
- Bertrand Russell Introduction to Mathemarical Philosophy, Routledge, 1919, 邦訳、バートランド・ラッセル、『数理哲学序説』、平野智治訳、弘文堂書房、1942年、岩波文庫、岩波書店、1954年。 (邦訳の引用は岩波文庫から。邦訳中の傍点は太字にしてあります。)
The proposition ''Socrates is a man'' is no doubt equivalent to ''Socrates is human,'' but it is not the very same proposition. The is of ''Socrates is human'' expresses the relation of subject and predicate; the is of ''Socrates is a man'' expresses identity. It is a disgrace to the human race that it has chosen to employ the same word ''is'' for these two entirely different ideas - a disgrace which a symbolic logical language of course remedies.*3
「ソクラテスは一人の人間である」という命題と、「ソクラテスは人である」とは疑いもなく等價であるが、それらは全く同じ命題ではない。「ソクラテスは人である」のあるは主語と述語との關係を表しているが、「ソクラテスは一人の人間である」のあるは同一性を表している。この全く違った二つの概念にあるという一つの言葉を使うのは人類の恥辱である − もちろん記號論理學的な言葉で矯正できる一つの恥辱である。*4
今の引用文に関しては、次も参照願います。藁谷敏晴、「集合と命題の論理形式」、『現代思想』、1990年10月号、特に206ページ。
また、以下の引用文もご覧ください。
The above definitions show how far removed from the simplest forms are such propositions as ''all S is P,'' with which traditional logic begins. It is typical of the lack of analysis involved that traditional logic treats ''all S is P'' as a proposition of the same form as ''x is P'' − e.g., it treats ''all men are mortal'' as of the same form as ''Socrates is mortal.'' As we have just seen, the first is of the form ''φx always implies ψx,'' while the second is of the form ''ψx.'' The emphatic separation of these two forms, which was effected by Peano and Frege, was a very vital advance in symbolic logic.*5
上にのべたいろいろな定義は、傳統的論理學の初めにおかれる「すべての S は P である」というような命題が、簡單な形から非常にかけ離れていることを示している。傳統的論理學では「すべての S は P である」と「x は P である」とを同じ形式、例えば「すべての人は死ぬ」という命題と、「ソクラテスは死ぬ」という命題とを同じ形式として取扱っているが、これはそのような論理學に含まれる不十分な分析の標本的なものである。上に説明したように、明かに前者は「φ(x) は常に ψ(x) を含む」という形のものであり、後者は「ψ(x)」の形のものである。この二つのものを明確に分離させたのはペアノとフレーゲで、これこそ記號論理學におけるじつに重大な進歩であった。*6
さて、そこで、be 動詞を持った文が出てきたら、私たちはその動詞のいみが、今の引用文の前に掲げた上記五つのいみのうちのどれであるのかを特定しようとします。でないと、その動詞の正確ないみを理解したことにはなりませんし、理解したとは感じられないからです。Be 動詞が出てきた時は、上記五つのいみのうち、どれであるのかを特定できて初めてその be 動詞のいみを正確に理解できたと言えますし、理解できたと感じられるのです。(事実、私がそうです。) 現代の論理学を学んだ私たちは、こうするのが普通だと思います。特に意識せずに今述べたような分析を be 動詞に対してやっていると思います。
そして 'ε' は be 動詞に相当していました。そこで私は 'ε' を見たら、その 'ε' が上記五つのいみのうちのどれに当たるのかを特定しようとして来たようです。首尾よく特定できるときもあったと思いますし、そうでない時もあったようです。少なくとも特定化するのが、なかなか困難に感じることが多かった気がします。そのようなわけで、'ε' については「何だか理解しにくいなあ」と思っておりました。「なぜ理解しにくいのだろう？」と感じておりました。
そうしたところ、先日以下の文章を読み直していると、'ε' が理解しにくい理由の一端がわかった気がしました。Leśniewski の教え子の Slupecki さんの手になる文章です。長いですが興味深いものですので、引用してみます。下線は引用者によるものです。後の説明のために施しています。
- Jerzy Slupecki ''S. Leśniewski's Calculus of Names,'' in: Studia Logica, vol. 3, 1955, reprinted in Jan T. J. Srzednicki, V. F. Rickey, J. Czelakowski eds., Leśniewski's Systems: Ontology and Mereology, Martinus Nijhoff / Ossolineum, Nijhoff International Philosophy Series, vol. 13, 1984. The citation is from the journal Studia Logica.
The task of rendering in English the intuitive sense of the symbol ''ε'' which is a primitive term of Leśniewski's ontology, meets with some difficulties. Leśniewski ''was thinking in Polish'' when constructing his ontology, the symbols of his ontology correspond to meanings in Polish and the syntax of his ontology is based upon syntactical principles of the Polish language. One of the fundamental differences between the Polish and the English language is that there are no articles in the former (just as in Latin), while they occur in the latter where the using or non-using of an article before a noun, the use of a definite or indefinite article affects the meaning of the verb which refers to that noun. The English verbal form ''is'' has three different meanings in the following sentences: ''Socrates is a man'', ''The dog is an animal'', ''Socrates is the husband of Xantippe''. One of the following three relations corresponds to the word ''is'' in these three sentences, the membership-relation, the inclusion-relation and the identity-relation. In Polish as in Latin the copula ''jest'' or ''est'', respectively, joins two nouns without any articles. In Latin it does make sense to say: ''Socrates est homo'', ''Canis est animal'', ''Socrates est coniunx Xantippae''. There are two possible viewpoints as to the meaning of the word ''est'' in these sentences. Firstly, we may hold that the above three Latin sentences are translations of the respective English sentences mentioned before, hence that the Latin ''est'' has a different meaning in each of the three sentences. Secondly, it is possible to hold that ''est'' has the same meaning in all three Latin sentences. In that case we may either identify the meaning of the Latin word ''est'' with one and only one of the above mentioned meanings of the English word ''is'', or admit that ''est'' has one meaning in all three quoted Latin sentences and that this meaning is different from any of the three meanings of the English word ''is''. This latter view has been adopted by Leśniewski. He holds, namely, that the Latin ''est'' has one meaning in all contexts of the type ''A est B'' just as the Polish word ''jest'' in contexts of the type ''A jest B'', but that this meaning is different from any of the meanings of the English ''is'' in the sentences: ''Socrates is a man'', ''The dog is an animal'', ''Socrates is the husband of Xantippe''.
What this meaning is like we may guess from the axiom of Leśniewski's ontology. [...]
The difference which in Leśniewski's view exists between any of the meanings attributed to the English word ''is'' and the meaning of the Polish ''jest'' or Latin ''est'' and thus also of the meaning of the primitive term ''ε'' in Leśniewski's ontology makes it impossible to illustrate the schema ''A ε B'' by means of examples taken from the English language. Neither the sentences ''Uranus is a planet'', ''John III Sobieski is the deliverer of Vienna'' nor the sentence: ''The whale is a mammal'' are good examples of the schema ''A ε B'' as Leśniewski meant it to be understood, whereas the Polish or Latin translations of the same sentences may serve as good examples: ''Uranus est planeta'', ''Johannes III Sobieski est liberator Viennae'', ''Cetus est mammale''. For the English reader, wishing to grasp Leśniewski's intentions with regard to the meaning of the symbol ''ε'', it is advisable to replace the English examples given in the text by their Latin translations, and the symbol ''ε'' of Leśniewski's ontology should be interpreted rather as the Latin ''est'' than the English ''is''.*7
However, Leśniewski understands a singular proposition [of the type ''A ε B''] in such a manner that it can be true only if its subject is a singular name. In other words, any singular proposition, the subject of which is an empty name [e.g., ''Hamlet is the hero of a tragedy by Shakespeare''] or a general name [e.g., ''The whale is a mammal''], is false.
One may raise the question whether the meaning of the word ''is'' in ontology is the same as that currently attributed to it. It is commonplace to say that Leśniewski was not able to fix the meaning of the primitive term of ontology so as to be in conformity with all current meanings of the word ''is'', the more so as propositions of the type ''x is S'' are used with an evident lack of consequence in current speech.*8
一つ目の引用文、その中ほどの下線を引いた文 'This latter view has been adopted by Leśniewski' の述べている内容からわかることは、Leśniewski にとって 'ε' のいみはいくつもあるのではなく、ただ一つであり、しかもそれは引用文中にあるような英文 ''Socrates is a man'', ''The dog is an animal'', ''Socrates is the husband of Xantippe'' の 'is' が持っているような論理的ないみとはまた別のものである、ということです。'ε' は 'is' に当たるものの、それは 'is' のいみを持っていない！ そして一つ目の引用文の最終段落からわかることは、'ε' は 'is' のいみを持っていないのだから、'ε' が出てきたら 'is' を使った英文で置き換えて考えるのではなく、冠詞のない Latin 語の文に変換して考えるのがよいとのことです。'ε' を含んだ冠詞なしの式を、冠詞のある英文に置き換えるのではなく、それ故、しばしば主語と述語の間の論理的関係を示唆してくれる冠詞のある英文に置き換えるのではなく、主述の論理的な関係が不分明な冠詞なしの言語に置き換えよ、とは！ これでは 'ε' を、引用文の前に掲げた be 動詞の論理的な五つのいみのどれかに腑分けするのではなく、五つのうち、どのいみであるのかを特定しないまま放置しておけ、と言っているに等しいように思われます。'ε' が出てきても、その論理的ないみが何であるのかを考えなくていい、と言われているようなものだと思います。'ε' を Latin 語文の 'est' に置き換えてよいならば、一般に冠詞がないとされている日本語の「〜 は − である」で 'ε' を置き換えてもいいわけだ。
私たちは 'ε' が出てきたら、これは be 動詞に相当するので、その 'ε' が五つのいみのうちのどれであるのかを確認し、それができたならば、その文脈における 'ε' のいみがわかったとして安心するのですが、実は 'ε' のいみは五つのうちのどれということはなく、したがってそのどれかに特定することはいみがなく、たとえ特定してみたとしても、それでその 'ε' がわかったことにはならない、ということになります。今まで 'ε' の言わんとしていることを、be 動詞の論理的な五つのいみのうちのどれかに落とし込もうと私は一生懸命やってきましたが、無駄だったんだ。'ε' はそういうものではなかったんだ。道理でうまくいかないはずだ。
'ε' のわかりにくさは、それを be 動詞の論理的ないみのうちの一つに特定することで解消されると考えていましたが、'ε' は五つのいみのうちのどれか一つにいみが特定されるものではなく、そうすべきものでもないので、'ε' のわかりにくさをそのように解消しようとしても無駄であるとわかりました。これで結局振り出しに戻ったわけですね。全然前に進んでいないことになりますね。
'ε' のいみの座りの悪さは、そのままにしておく他はないようです。'ε' は、日本語で言えば「〜 は − である」の代用または省略形に過ぎず、「〜 は − である」のいみを分析して出てきたものではないようです。
冠詞のない日本語文での「〜 は − である」の論理的ないみが、日本語文の表面上では明示されておらず、日本語文を一見しただけではその論理的ないみが不分明であるのとちょうど同じように、'ε' もそのいみは不分明なのであり、かつ 'ε' を記す際の意図、ねらいからして不分明であるべきなのだ、ということです。以上から、'ε' がわかりにくいのは当然なのであり、わかりにくいままでいいのだ、ということです。何だか身もふたもないですが ... 。
さて、話を一番初めに戻すと、そもそも 'ε' を理解することのむずかしさについて考え出したきっかけは、Frege が突き当たった Russell Paradox に対し、彼が修正を施した体系からも矛盾が出てくることを Leśniewski が term 'ε' を使って証明したことにありました。その証明を正確に理解するためには、'ε' の正確な理解が必要なのですが、その 'ε' がまたわかりにくいという話になってその理由を探索し、原因の一端がわかったような気がしましたので、その原因と思われるものを今回記してみたわけです。
では仮にその原因なるものが確かに本当に原因になっているとして、Leśniewski による矛盾導出の正確な理解をこれで得ることができるのでしょうか？ う〜む、そう言われるとちょっと困ってしまいます。というのも、先ほど四つ前の段落で触れたように、私たちは「振り出し」に戻ってしまったので、'ε' を含んだ式の正確な理解は、従来思っていたようなやり方では、つまり 'ε' のいみを be 動詞の五つの論理的いみのうちから選び出すことによって把握するというやり方では得られない、ということがわかっただけになります。参りましたね。
とはいえ、問題解決のための方策のうち、その一つが袋小路に突き当たるということがわかっただけでも一応前進と言えるでしょう。袋小路に入り込む手は使うべきでないとわかった限り、別の手に正解があることがわかり、正解の候補の数を少し絞り込むことができたわけですから。といっても、残りの候補からただちに正解を引き当てることができるのか、と言われると、否定的な返事をせざるをえません。正直に言ってどこに正解があるのか、私にはわかりません。
ただし、'ε' が英語の be 動詞のいみを持たないとしても、'ε' がどのようなものであるかは、Leśniewski 本人や彼の弟子の方々の解説から、ある程度推測できるかもしれません。今のところそうする他はないようです。そこで、'ε' が何であるのかをいくらかなりとも明らかにしてくれている 'ε' の説明文、なかでも私にとって参考になりそうなその説明文を、可能ならば後日、この日記で列挙してみたいと思っております。ただの予定ですので、できるかどうかはわかりませんが ... 。もしもできたならば、きっと皆さんの参考にもなると思います。
今日はここまでにします。何か間違ったことを書いておりましたらすみません。どうかお許しください。
*1:'ε' がわかりにくいのは、私の能力にだけ起因しているのでないようです。以下の文献で石本先生も、それが元々理解しにくいものであることを述べておられます。石本新、「序文」、『自然言語の論理とその存在論 レスニェウスキー存在論の立場から』、石本新編著、多賀出版、1990年、v-vii ページ。このわかりにくい 'ε' を理解する方法には、従来から二つあると石本先生は同じページで述べておられます。ここでその二つを、私のほうで一部解釈を入れ、敷衍しつつまとめておきます。「'ε' を理解する方法」。(1) 一つ目の方法: 'ε' を翻訳せず、直接理解する方法。あるいは 'ε' を含んだ式を、(冠詞のない) 自然言語の文に相当するものとして捉えた上で、直読直解する方法。'ε' を含んだ式を多数読むことによって、'ε' のいみの近似値を出して行く。これは Leśniewski 自身が採用している方法。問題点: それでは理解しにくい。何にも翻訳せず、あるいはせいぜい冠詞のない自然言語に翻訳するだけで、'ε' を持った式のいみを、いわば「直観」するようなものであり、そのような地道な読解の場数を踏むことで 'ε' のいみを体得して行こうとしているので、'ε' のいみの定式化になじまない。たかだか体得のコツ (tip) をいくつか示してみせることができるだけである。(2) 二つ目の方法: なじみのない 'ε' を含んだ Leśniewski の Ontology の一部を、なじみのある論理体系に埋め込むことによって、'ε' を理解する方法。'ε' の現れる式を、たとえば等号を伴う古典一階述語論理のなかに埋め込む、という具合。この場合、'ε' を持った式を、古典一階述語論理の式であるかのように解釈することで、'ε' を理解していくことになる。具体的には、'a ε b' という式の 'a' を 'f(x)', 'b' を 'g(y)' などと解し、'a ε b' 全体を 'f(x) ならば g(y)' などと解する方法である。問題点: Ontology の式 'a ε b' を、古典一階述語論理で理解しようとしても、Ontology に対する理解と、古典一階述語論理に対する理解とが衝突してしまう/齟齬を来たす。具体的には、'a ε b' を 'f(x) ならば g(y)' と解することは、'a ε b' の 'a', 'b' を一種の述語と解し、それが表しているものを一種の普遍と解することになるだろうが、これは Ontology では許容できない解釈である。
*2:'Leśniewski coordinates the symbol ''ε'' to ''is'', the primitive term of ontology.' 試訳/私訳 「Leśniewski は ontology の原始的タームである記号 ''ε'' を ''is'' に対等するものとしている。」 (本文で後ほどわかってくるように、ここでは 'coordenates' を「合わせる/調節する」と訳すのは、適切ではないと判断しています。) See Jerzy Slupecki, ''S. Leśniewski's Calculus of Names,'' in Studia Logica, p. 12, reprinted in Leśniewski's Systems: Ontology and Mereology, p. 64. The citation is from the journal Studia Logica. これらの文献の書誌情報の詳細は、本文中で後述します。
*3:Introduction to ..., p. 172.
*4:『数理哲学序説』、弘文堂、263ページ、岩波文庫、224ページ。
*5:Introduction to ..., p. 163.
*6:『数理哲学序説』、弘文堂、250ページ、岩波文庫、214ページ。
*7:''S. Leśniewski's Calculus of Names,'' in Studia Logica, pp. 13-14, footnote ★, or in Leśniewski's Systems, pp. 65-66, footnote ＊.
*8:''S. Leśniewski's Calculus of Names,'' in Studia Logica, p. 14, or in Leśniewski's Systems, p. 66.
