Sack, Abyss, and Defeat - nuhsnuh’s blog

前回、Dedekind と Frege に少し触れました。その際、次の本を拾い読みさせてもらったのですが、

　・足立恒雄　　『フレーゲ・デデキント・ペアノを読む』、日本評論社、2013年、

そこに Dedekind と Cantor に関して、興味深いエピソードが書かれていました。それは以下のようなものです。

Cantor は集合論のパラドックスを見つけました。そしてそれを手紙で Dedekind に伝え、見解を求めたのですが、彼が病気だったためか、返事をもらえませんでした。そこで弟子の Bernstein を Dedekind のところにやって、返事を聞いてくるように頼みました。そうして Bernstein が入手した返事によると、Dedekind はパラドックスに関して次のように答えたそうです。上の足立先生の本から先生の翻訳で、その返事を引用してみます。

しかしながら、デデキントは当時最終的な意見を表明するには至らず、「熟考しているのだが、人間の思考が完全に合理的なのかどうかをほとんど疑うに至っている」と語った。 ^*1

Dedekind 先生は、パラドックスにいわば人間理性の限界を見たのでしょうか？とても興味を感じます。

私は個人的に、いわゆる論理的なパラドックスに哲学的な含意や教訓が含まれているとすれば、それは何であろうか、という疑問を持っていますので、先生のような偉大な研究者が集合論のパラドックスにどんな哲学的意義を感じていたのか、関心があります。

足立先生の本ではその他に、Bernstein の報告から、Dedekind が集合を閉じた袋としてイメージしていたり、Cantor が集合を深淵としてイメージしていたという話が紹介されていて、大変面白いです。

これらのエピソードは、Dedekind の Gesammelte mathematische Werke の Band 3 に収められているそうで、この著作は現在誰でも無料で internet を使い、見ることができるようです ^*2 ^*3 。

実際に調べとみると、すぐに見つかりました。割と短い文章です。そこで今日はそのエピソードをドイツ語原文で引用し、試訳/私訳を付けてみたいと思います。まず出典を記します。

　・ Richard Dedekind　　Gesammelte mathematische Werke, Dritter Band, herausgegeben von R. Fricke et al., Friedr. Vieweg, 1932, S. 449 ^*4 .

ここで Emmy Noether が注釈として、Bernstein の報告を記しています。それを引きます。なお、原文中の人名がどれも gesperrt されていますが、それは無視し、詰めて引用します。

　F. Bernstein übermittelt noch die folgenden Bemerkungen:

　„Der gennante Besuch war durch Cantor veranlaßt. Dieser hatte kurz zuvor die Paradoxie der Menge aller Ordnungszahlen gefunden, und zwar bei dem Versuche, zu beweisen, daß jede Menge wohlgeordnet werden könne - ein Beweis, den er etwa mit ähnlichen Überlegungen zu führen suchte, wie sie Zermelo dann später, nur unter Vermeidung der inkonsistenten Mengen, in seinem ersten Beweise der Wohlordnung verwandt hat. Cantor bemerkte sehr wohl, daß die gefundene Paradoxie auch auf die Menge aller Dinge Anwendung findet. Diese hatte Dedekind in seiner Schrift ‚Was sind und was sollen die Zahlen?‛ zum Beweise der Existenz unendlicher Mengen angewandt, und zwar so, daß nach dem Aufbau seiner Schrift die Definition der Zahlen von der widerspruchsfreien Existenz dieser Mengen abhängt. Cantor hatte ihn wohl schon brieflich um eine Stellungnahme gebeten und beauftragte mich nun, da eine solche, vermutlich infolge der schweren Erkrankung Dedekinds im Winter 1896/97, ausblieb, dieselbe in mündlicher Verhandlung herbeizuführen.

　Dedekind war jedoch zu einer abschließenden Stellungnahme damals nicht gelangt und äußerte mir gegenüber, daß er in seinen Überlegungen fast zu Zweifeln daran gelangt sei, ob das menschliche Denken ein vollkommen rationales sei.

　Von besonderem Interesse dürfte folgende Episode: Dedekind äußerte, hinsichtlich des Begriffes der Menge: er stelle sich eine Menge vor wie einen geschlossenen Sack, der ganz bestimmte Dinge enthalte, die man aber nicht sähe, und von denen man nichts wisse, außer daß sie vorhanden und bestimmt seien. Einige Zeit später gab Cantor seine Vorstellung einer Menge zu erkennen: Er richtete seine kolossale Figur hoch auf, beschrieb mit erhobenem Arm eine großartige Geste und sagte mit einem ins Unbestimmte gerichteten Blick: ‚Eine Menge stelle ich mir vor wie einen Abgrund.‛ ‟

次に私による和訳を掲げます。最初に直訳・逐語訳を記します。ガチガチの訳なので一読しただけではわからないかもしれません (何度読んでもわからないところがあるかもしれませんが。) その後に意訳を記します ^*5 。

ドイツ語ができる方は、私の訳を無視してください。和訳で読みたいという方は、意訳を読まれればよいと思います。意訳を読んで私の訳に疑問を感じた方は直訳・逐語訳を参考に、私がどのようにドイツ語を理解し、あるいは誤解しているか、確認してください。意訳だけだとドイツ語の細部がわかっていなくてもごまかすことができますが、直訳・逐語訳だとそうもいきません。手の内を明かしておきます。誤訳していましたらすみません。また誤訳とまではいかなくても、改善したほうがいい点が多々あるかもしれません。それについてもお詫び致します。

また、お断りしておきますが、私は Dedekind, Cantor, 集合論のどれについてもよく知りません。見当違いの訳を作っておりましたらごめんなさい。

【直訳・逐語訳】

　F. ベルンシュタインは、さらに以下のような所見を伝えている。

　「挙げられた訪問は、カントールによって指示されました。この人は、ほんの少し前に、すべての順序数の集合のパラドックスを見つけていました。詳しく言うと、どの集合も整列させることができるということを証明する試みの際に、です。それからあとにツェルメロが、不整合な集合の回避に徹しながら、彼の最初の整列の証明のなかで使用した考え方とだいたい似た考えを使って、カントールが行おうと努めたのが、この証明です。カントールは、見つけられたパラドックスがすべてのものの集合にも適用されることに、とてもよく気づいていました。これをデデキントは、彼の著作「数とは何か、何であるべきか」のなかで、無限集合どもの存在の証明のために使用していました。さらに言えば、彼の著作の構成に従うと、数の定義は、これらの集合の無矛盾な存在にかかっているような仕方で、です。カントールはずっと前に彼に手紙で見解を求めていました。そして、おそらくデデキントが1896年から97年にかけての冬に重い病気にかかったため、その見解が出てこなかった今、カントールは私に、その同じ見解を口頭のやり取りでこちらにもたらすよう依頼したのでした。

　しかしデデキントはその当時、最終的な見解には至っておらず、私に対し、次のようなことを述べました、つまり、自分は熟慮するなかで、人間の思考は完全に合理的なものかどうかを、ほとんど疑うに至った、というようなことを。

　特に興味を持つのは、次のエピソードでしょう。デデキントは集合の概念に関して、以下のように述べた。すなわち、自分は集合を閉じた袋のようなものと思っており、この袋はまったく確定的なものたちを含んでいるのだが、しかしそれらのものは見えず、それらのものが存在しかつ確定的であるということ以外には、それらのものについては何もわからない、と ^*6 。少しあとでカントールは、自分が集合で思い浮かべるものを明らかにした。彼は自分の巨体を高く起こし、上げられた腕で大仰な身振りをして見せ、不確定なものに向けられた目つきで、次のようなことを言った。つまり「集合を自分は深淵のようなものと思っている」と。」

【意訳】

　F. ベルンシュタインは、さらに以下のような所見を伝えている。

　「先に述べた [デデキントのところへの] 訪問は、カントールによって [私に] 指示されたものです。カントールは、この少し前に、すべての順序数の集合に関するパラドックスを見つけていました。詳しく言うと、どの集合も整列可能であることを証明しようと試みていた際に、それを見つけたのです。この証明をカントールは、ある考え方に基づいて行おうと努めていたのですが、あとになってツェルメロが、不整合な集合をあくまで回避しつつ、このカントールの考え方と大体似た考え方を使って、初めて整列可能性を証明しました。カントールは、見つかったパラドックスがすべてのものを含む集合にも当てはまることに、大変よく気がついていました。この集合をデデキントは、彼の著作「数とは何か、何であるべきか」のなかで、無限集合が存在することの証明のために使っていたのですが、しかも彼の著作の書き方に従うと、数の定義は、この無限集合が存在しても矛盾を来さない、ということにかかっているのです。カントールはずっと前にデデキントに手紙で [このことに対する] 見解を求めていたのですが、おそらくデデキントが1896/97年の冬に重い病気にかかったため、その見解が明らかにされなかったことから、カントールが私に、その見解を口頭のやり取りで [デデキントから] 引き出してくるよう依頼してきたのでした。

　特に興味深いのは、次のエピソードだろう。デデキントは集合の概念に関して、以下のように述べた。すなわち、自分は集合を閉じた袋のようなものと思っており、この袋はまったく確定的なものを [いくつか] 含んでいるのだが、しかしそれらのものは見えず、それらが存在しかつ確定的であること以外には、それらについては何もわからないのだ、と。少しあとでカントールは、自分が集合で思い浮かべるものを明らかにした。彼は巨体を起こしてそびえ立ち、腕をかかげて大仰な身振りをして見せながら、不確定なものを見るような目つきで、次のようなことを言った。つまり「集合を自分は深淵のようなものと思っている」と。」

なかなか面白いですね。Dedekind の閉じた袋という集合観は常識的な感じで、私たちも抱くような見方ですね。

それに対して Cantor のものは、私たちも集合論を深く勉強すれば抱く見方かもしれませんが、さすがに Cantor らしい見解ですね。

その Cantor が次元の違いの喪失について、'Je le vois, mais je ne le crois pas' と言ったという話は有名ですが ^*7 、その時の 'le' とは、ひょっとしてひょっとすると、上のドイツ語引用文末尾にあるような Abgrund のことだったのかもしれませんね。この語は「深淵」の他に「奈落」という訳語も持ちますので、Cantor が見たのは、無限のものが無限の階層を、はるか下まで落ち込んでいく暗黒の世界だったのかもしれません。そして Cantor はそのような世界を見ただけでなく、そこに吸い込まれ落下していくような気分を味わったのかもしれません。そのためにその後、精神を病んだのかもしれませんね。

では一転して、Frege は集合をどのように見ていたのでしょうか？それについては、たとえば次の文献を見ていただくことにして、

　・　三平正明　　「フレーゲとカントールの対話」、『思想』、no. 954, 岩波書店、2003年、

以下では、Frege が集合について言及した発言のうち、私が若干印象深く思った文章を引いてみましょう ^*8 。次の遺稿のなかに出てくるものです ^*9 。

　・　G. Frege　　„Erkenntnisquellen der Mathematik und der mathematischen Naturwissenschaften‟, in Nachgelassene Schriften, zweite, revidierte Auflage, Felix Meiner, 1983, SS. 288-289.

まず、ドイツ語原文を引用します。その下に、刊行されている邦訳を掲げます。(邦訳のなかのカッコ [　] は訳者によるものです。)

　Eine für die Zuverlässigkeit des Denkens verhängnisvolle Eigenschaft der Sprache ist ihre Neigung, Eigennamen zu schaffen, denen kein Gegenstand entspricht. Wenn das in der Dichtung geschieht, die jeder als Dichtung versteht, so hat das keinen Nachteil. Anders ist es, wenn es in einer Darlegung geschieht, die den Anspruch auf strenge Wissenschaftlichkeit macht. Ein besonders merkwürdiges Beispiel dazu ist die Bildung eines Eigennamens nach dem Muster „der Umfang des Begriffes a‟, z.B. „der Umfang des Begriffes Fixstern‟. Dieser Ausdruck scheint einen Gegenstand zu bezeichnen wegen des bestimmten Artikels; aber es gibt keinen Gegenstand, der sprachgemäss so bezeichnet werden könnte. Hieraus sind die Paradoxien der Mengenlehre entstanden, die diese Mengenlehre vernichtet haben. Ich selbst bin bei dem Versuche, die Zahlen logisch zu begründen, dieser Täuschung unterlegen, indem ich die Zahlen als Mengen auffassen wollte.

　言語の、思考の信頼性にとって致命的な性質の一つは、いかなる対象もそれに対応しないような単称名辞を造り出す傾向性である。こうしたことが虚構において生じたとしても、誰もがそれを虚構として理解する限り、それは何の欠陥でもない。[だが、] そうしたことが、強い学問性 (科学性) が求められるような説明において生ずるならば、話は別である。これに対する、特に注目すべき実例は、「概念 a の外延」という原型に基づく単称名辞の構成、例えば「概念恒星の外延 der Umfang des Begriffes Fixstern」である。この表現は、定冠詞をもつがゆえに、一つの対象を表示するように思われる。しかし、言語的にそのようにして表示されうる、いかなる対象も存在しない。ここから、集合論のパラドックスが生み出された。それは、この集合論を壊滅させたのである。私自身は、数を論理的に基礎づけようと試みたときに、数を集合として把握しようとしたがゆえに、この思い違いによって屈服させられた。 ^*10

「屈服させられた」ということばが印象深いですね。要するに Frege は「負けた (unterliegen)」わけです。このように Frege が述べる様子を見ると、「潔いことだ」とも思いますし「悲しいことだ」とも思います。

しかし、Frege がいわゆる Russell の Paradox に遭遇したことは、個人的には悲劇であったとしても、論理学の世界においては強力な springboard を手に入れたことになったので、大局的には悲しいことばかりではなかったと言えます。このような感じのことを、Frege は Russell へ最初に書簡を返信した際に、述べていたと思います。

問題

ところで、上の引用文で Frege は「概念 a の外延 (der Umfang des Begriffes a)」や「概念恒星の外延 (der Umfang des Begriffes Fixstern)」が指しているような対象はない、と述べています。なぜでしょうか？

この問題に対する私なりの答えを別に書いてみたのですが、半分まで書いたものの、長くなりすぎて疲れたので、ここにそれを書き写すのはやめます。(それに最後まで書いたとしても、十全な答えになりそうにありませんでしたし)。

その代わり、以下では私なりの推測を軽く示唆したものを記してみます。詳しい説明は一切省きます。

さて、先の問題に対し、すぐに思いつく答えは、いわゆる研究者の間で「概念馬のパラドックス the Concept Horse Paradox」と呼ばれているものにより、概念の表現 a, Fixstern の前に定冠詞 (der, des, etc. ) を付けると、概念を指すように見えて実は概念を指すことはない、と Frege は考えたことから、問題の表現「概念 a の外延 (der Umfang des Begriffes a)」等も指示する対象を持たないのだろう、とするものです。

私もこれが、問題の表現が指示する対象を持たない理由だろうと一瞬考えたのですが、上に引用した Frege の文のすぐあとを読むと、この理由ではないことがわかります ^*11 。というのも、今取り上げている問題の表現は、また「別の仕方で in anderer Weise」困難を引き起こすと Frege は述べて、その困難の原因として「概念馬のパラドックス」に関する話を出しているからです ^*12 。したがって、上の引用文で Frege が、問題の表現が指示対象を持たないとしている理由は、「概念馬のパラドックス」関係とは異なったものであると考える必要があります。(少なくとも、その paradox が直接の理由ではないと考える必要があります。)

では、どんな理由から問題の表現が指示対象を持たないと Frege は考えていたのかというと、推測ですが、大雑把に言うと、「概念の外延」ということばが、そのままだと Russell の Paradox に相当するものにより、矛盾を含意するからだろうと思います。「丸い三角」ということばは矛盾しているので何も指さないように、「概念の外延」ということばも実は矛盾を含んでいるので何も指さず、よって表現「概念 a の外延 (der Umfang des Begriffes a)」や「概念恒星の外延 (der Umfang des Begriffes Fixstern)」も何も指さない、というわけです。

ただし、Frege によると、丸い三角という概念や概念の外延という概念が矛盾しているから、ただちに問題を引き起こすのだ、そんな概念は一掃されるべきだ、というわけではありません。逆説的ですが、学問に矛盾した概念は必要です (背理法のことを思い出してください。このことは、以下で言及する Frege の遺稿で、本人が触れています)。

Frege にとって問題が起きるのは、矛盾を含んだ概念の表現に対し、定冠詞を前置して、そうやってできた表現は単称名だから何か対象を指しているはずだ、と思うことにあります。というか、そうやってできた表現は、文学作品などと違って学問の場では、当然何か指していると思わざるを得ない、ということです。

Frege によると、たとえば「丸い三角」という概念の表現や「概念の外延」という概念の表現が、それだけで悪いというわけではありません。これらの概念の表現、具体的には「概念の外延 Umfang des Begriffes」に、ドイツ語や英語、フランス語で言えば、定冠詞を前置し、「概念のその外延 der Umfang des Begriffes」のように書いて、これを学術的な場面で事実を表す表現として使う場合が、問題を惹き起こすのです。この表現は何かを指しているように見えますが、矛盾を含んでいるので何も指していないのです。

何か指しているように見えて、実はそこでの概念が矛盾していたので何も指していなかった、ということはあり得ます。それこそ、素朴な集合の概念や概念の外延という概念に起こったのがこれだと思います。

Frege も「怪しいな、大丈夫かな？まぁ大丈夫だろう」と思っていた表現「概念の外延」に関し、降ってわいてきたのが Russell の Paradox でした。

というわけで、話がまた長くなってきたので、疲れてきたこともありますし、もうやめます。

私がここまで述べた、表現「概念の外延」が指示する対象を持たない理由は、まだ推測の段階にあるものです。絶対に正しい、とは思い込まないでください。そもそも極めて大雑把な記述をしていますので、正確さに大いに欠けていますし。

なお、この件に関して評価される場合は、まず Frege の遺稿「シェーンフリース「集合論の論理的パラドクス」について」に付された訳者岡本賢吾先生の訳註を、どうかお読みください ^*13 。そこの訳註11末尾、訳註27第1段落と第2段落、訳註36末尾に注意してください ^*14 。私の推測に対し、岡本先生が反対意見を記しておられます。これらの註を必ずお読みになられてから、私の上の推測を評価してください。

以上、お手間おかけ致しますが、よろしくお願いします。これで本日の話を終わります。私がなしたすべての誤解、無理解、勘違い、無知、無頓着にお詫び申し上げます。特にドイツ語の私による和訳は、細部まで正しい、とは思わないでください。気をつけて訳したつもりですが、「大体あんな感じ」ぐらいに思っておいたほうがいいです。

*1:足立、122-123ページ。

*2:足立、198ページ。

*3:なお、これらのエピソードは、結構有名なのかもしれません。たとえば次の著名な本でも少しだけ言及されています。José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, Second Revised ed., Birkhäuser, 2007, p. 292.

*4:URL, <https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN23569441X?tify={%22pages%22:[453],%22view%22:%22toc%22}>.

*5:意訳のなかで、訳者が補足した表現をカッコ [　] に入れて記しましたが、それは補足した表現の一部です。補足した表現を全部そのカッコに入れて記すと煩雑になるので、一部にとどめています。

*6:集合自身が目に見えず、存在して確定的である以外、何もわからない、というのなら、なんとなく話はわかりますが、集合自身ではなく、その集合に含まれているものが、目に見えず、存在して確定的である以外、何もわからない、というのは、またどうしてなのか、といぶかしく思われるかもしれません。私の推測ですが、Dedekind はここで、含まれているものも集合だと考えているのだろうと思います。だから、集合に含まれているものも目に見えないと言っているのだろうと思います。「数とは何か、何であるべきか」の第3節末尾で、集合に含まれているものとして集合を考えることもできる、という意味のことを述べていますので (デデキント、『数について』、岩波文庫、61ページ、『数とは何かそして何であるべきか』、ちくま学芸文庫、62ページ)。ちなみにドイツ語原文では、存在し確定的である以外、何もわからないもの denen, sie とは、文法上、ここでは前方の複数名詞のことであり、目に見えないもの die も、話の内容から、これと同じ名詞を指していると考えられ、その場合、前方の複数名詞とはただ一つ、Dinge しかないので、目に見えず、存在して確定的である以外、何もわからないものとは Dinge であって、Dinge を含んでいる女性単数名詞 Menge ではありません。念のため。

*7:このセリフについて言及している文献を一部だけ上げるなら、たとえば、Ferreirós, Labyrinth of Thought, p. 171, I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940, Princeton University Press, 2000, p. 89, 志賀浩二、『集合への30講』、朝倉書店、1988年、178ページ、アミール・D・アクゼル、『「無限」に魅入られた天才数学者たち』、青木薫訳、早川書房、2002年、129ページ、など。

*8:もちろん Russell との書簡のやり取りの際に Frege が言及した集合がらみの発言が、誰でも一番印象深いと思いますが、今回はそれは外します。

*9:この発言も割と有名だろうと思います。著名な入門書に出てきますので。Anthony Kenny, Frege: An Introduction to the Founder of Modern Analytic Philosophy, Blackwell, 1995/2000, p. 176, 邦訳、アンソニー・ケニー、『フレーゲの哲学』、野本和幸他訳、叢書・ウニベルシタス、法政大学出版局、2001年、226ページ。(ただし邦訳書は Blackwell の再発版ではなく、Penguin の original 版からの訳です。)

*10:G. フレーゲ、「数学と数学的自然科学の認識源泉」、金子洋之訳、『フレーゲ著作集 5　数学論集』、野本和幸、飯田隆編、勁草書房、2001年、300-301ページ。

*11:その「すぐあと」の文は、ここでは引用していません。

*12:Frege, „Erkenntnisquellen ... ‟, S. 289, フレーゲ、「数学と数学的自然科学の認識源泉」、301ページ。

*13:『フレーゲ著作集 5 数学論集』。

*14:『フレーゲ著作集 5 数学論集』の、それぞれ204, 209-210, 214-215ページです。