Reading the Famous Correspondence Between Frege and Russell Word for Word

Frege Russell

目次

 

注意

このブログでは、研究や研究の類いや研究の一端のようなものをやっているのではありません。研究とはまったく関係ありません。

またこのブログでは、哲学をしているのではありません。哲学について述べているかもしれませんが、哲学はしていません。

以上の点をご銘記の上、以下をご覧くださいますようよろしくお願い申し上げます。注意終わり

 

はじめに

(今日の話はとても長いです。時間のない人は読まないほうがいいと思います。暇で仕方がないという人ならば、いいかもしれませんが。)

今回は Gottlob Frege と Bertrand Russell の有名な往復書簡の原文ドイツ語を味わってみます *1 。

テクニカルな内容について、突っ込んで検討してみるということは、ほとんどしません (私にはできませんので)。

Russell から Frege へ、いわゆる Russell Paradox 発見の第一報の、その核心部分と、それに対する Frege から Russell への返信の核心部分を見てみましょう。

なお、Russell Paradox は一応既知としますが、今回の往復書簡の中で言及されているこの Paradox の述語 (性質) 版の説明を一番最後に掲げておきますので、Russell Paradox をまったく知らないという方は、読んでおいたほうがいいかもしれません *2 。

 

本日は、次のような流れになります。

　・　Russell から Frege へ1902年6月16日第一報、

　・　Frege から Russell へ1902年6月22日返信

のそれぞれに、以下 を付します。

　・　書簡の原文ドイツ語を引用、

　・　私による直訳を記載 *3 *4 、

　・　私による逐語訳を記載、

　・　既に刊行されている邦訳を添付、

　・　私の感想を掲示。

 

そしてそのあと、それぞれの書簡に関し、

　・　補足説明の類い

を若干だけ付けます。そして最後に

　・　Russell Paradox 述語版の説明

を載せておしまいにします。

 

私による逐語訳ついては、このようにするとドイツ語原文の雰囲気や、細かい部分でどう言っていたのか、それがよくわかると思います。

またこの逐語訳を見れば、私が誤訳していないかどうか、一目瞭然だと思います。私はドイツ語に堪能ではないため、誤訳があったらすみません。

 

書簡原文ドイツ語は、次から引きます。今回の原文引用個所に、両者で異なるところはありません。

・　Gottlob Freges Briefwechsel, hg. von G. Gabriel et al., Felix Meiner, Philosophische Bibliothek, Bd. 321, 1980,

・　Gottlob Frege　　Wissenschaftlicher Briefwechsel, hg., G. Gabriel, et al., Felix Meiner, 1976.

引用する既刊の邦訳は以下です。

・　G. フレーゲ　　『書簡集　付「日記」』、フレーゲ著作集 6,　野本和幸編、勁草書房、2002年。

この和書の中で、Frege と Russell との往復書簡の和訳は、土屋純一先生が担当されておられます。

それでは始めます。

 

Russell から Frege へ1902年6月16日第一報

最初は Russell から Frege へ、いわゆる Russell Paradox 発見を告げる第一報からです。

Russell は書簡の初めに、次のような感じのことを述べています。「ここ1年半ほどのあいだ、あなた (Frege) の Grundgesetze, Band 1 について知ってはいたものの、時間がなくて読めずにいました、ようやく時間を取ることができるようになったので、あなたの著作を研究しています、主要な点に関してあなたと同意見です」。そしてこのあと、以下の引用文に続きます。

原文

In vielen einzelnen Fragen finde ich bei Ihnen Discussionen, Unterscheidungen, und Definitionen, die man vergebens bei anderen Logikern sucht. Besonders über die Funktion (§9 Ihrer Begriffsschrift) bin ich bis ins Einzelne selbständig zu denselben Ansichten geführt worden. Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schliessen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.

[…]

Obiger Widerspruch drückt sich in Peano's Begriffsschrift wie folgt aus:

w = cls ∩ x з ( x 〜ε x ) .⊃: w ε w .=. w 〜ε w.　3)

Ich habe darüber an Peano geschrieben, aber er bleibt mir eine Antwort schuldig. *5

 

直訳

多くのこまごまとした疑問点に関し、私はあなたの著作において、議論、区別、そして定義を見出します。それらを他の論理学者たちの著作において探してみても見付からず、徒労に終わってしまいます。とりわけ関数について (あなたの概念記法の第9節) 私は独立に、細部に至るまで [あなたと] 同じ見解に導かれていました。[しかし] ただ1点だけ、困難なことが私に逢着いたしました。あなたは (17ページで) 関数もまた不定な要素を形作ることができる、と主張しておられます。このことを私は以前に [そのとおりであると] 思っておりましたが、しかし今では次の矛盾のため、私にはこの見解は疑わしく思われます。w は自分自身について述語付けられ得ない述語であるという、そういう述語であるとします。[この時] w を自分自身について述語付けることはできるでしょうか？[できる、できない] どちらの返答からも、その反対が帰結します。それ故、w は述語ではないと結論するほかありません。同様に、全体として自分自身に属していないクラスのクラスは、(全体としては) 存在しません。ここから、ある種の状況下では、定義のできる集合でも全体を形成しないと、私は結論します。

[...]

上記の矛盾は、ペアノの概念記法で、次のように表現されます。

w = cls ∩ x з ( x 〜ε x ) .⊃: w ε w .=. w 〜ε w.　3)

これについて、私はペアノに手紙を書いたのですが、しかしまだ彼は私に返事をくれていません。*6

 

逐語訳 *7

vielen 多くの　einzelnen こまごまとした　Fragen 疑問点　In に関し、　ich 私は　Ihnen あなたの　bei 著作において、　Discussionen 議論、　Unterscheidungen 区別、　und そして　Definitionen 定義を　finde 見出します。　die それらを　[man 人が]　anderen 他の　Logikern 論理学者たちの　bei 著作において　sucht 探してみても　vergebens 徒労に終わってしまいます。　Besonders とりわけ　die Funktion 関数　über について　(Ihrer あなたの　Begriffsschrift 概念記法の　§9 第9節)　ich 私は　selbständig 独立に、　ins Einzelne 細部に　bis 至るまで　[あなたと]　denselben 同じ　Ansichten 見解　bin ～ zu ～ geführt worden に導かれていました。　[しかし]　Nur ただ　einem Punkte 1点　in に関して、　eine Schwierigkeit 困難なことが　mir 私に　ist ～ begegnet 逢着いたしました。　Sie あなたは　(S. 17 17ページで)　die Funktion 関数　auch もまた　unbestimmte 不定な　das ～ Element 要素を　bilden 形作る　könne ことができる、　behaupten と主張しておられます *8 。　Dies このことを　ich 私は　früher 以前に　[そのとおりであると]　habe ～ geglaubt 思っておりましたが、　jedoch しかし　jetzt 今では　des folgenden 次の　Widerspruchs 矛盾の　wegen ため、　mir 私には　diese Ansicht この見解は　zweifelhaft 疑わしく　scheint 思われます。　w は　sich 自分　selbst 自身　von について　prädicirt werden kann 述語付けられ得　nicht ない、　welches それはそういう　[ein Prädicat 述語　zu sein であるような]　das Prädicat 述語である　Sei とします。　[この時]　[man 人は]　w を　sich 自分　selbst 自身　von について　prädiciren 述語付けることは　Kann できる　? でしょうか。　[できる、できない]　jeder どちらの　Antwort 返答　Aus からも、　das Gegentheil その反対が　folgt 帰結します。　Deshalb それ故、　[man 人は]　w は　Prädicat 述語　kein ではない　dass と　schliessen 結論する　muss ほかありません。　Ebenso 同様に、　als Ganze 全体として　sich 自分　selber 自身　angehören に属して　nicht いない　[die そういう]　Klassen クラス　derjenigen の　Klasse クラスは、　(als Ganzes 全体としては)　giebt es 存在し　keine ません。　Daraus ここから、　gewissen ある種の　Umständen 状況　unter 下では、　definierbare 定義のできる　eine ～ Menge 集合でも　Ganzes 全体を　bildet 形成し　kein ない　dass と、　ich 私は　schliesse 結論します。

[...]

Obiger 上記の　Widerspruch 矛盾は、　Peano's ペアノの　Begriffsschrift 概念記法　in で、　folgt 次の　wie ように　drückt ～ aus 表現されます。

w = cls ∩ x з ( x 〜ε x ) .⊃: w ε w .=. w 〜ε w.

darüber これについて、　Ich 私は　an Peano ペアノに　habe ～ geschrieben 手紙を書いたのですが、　aber しかし　er 彼は　mir 私に　eine Antwort 返事を　schuldig [する義務・責任を] 負った　bleibt ままです。

 

既刊訳

多数の個々の論点にわたって、他の論理学者に求めても得られない検討・区別・定義が学兄の許には見出されます。特に関数については (貴著 『概念記法』 第9節) 細かい点まで同一の見解に私も独立に至っております。ただ一点だけ私は難点に逢着いたしました。学兄は17頁で関数は無限の *9 要素を構成することもできると主張しておられます。私も以前はそう信じておりましたけれども、今ではこの見解は疑わしいと思えるのです。その理由は以下申し上げる矛盾のゆえであります。w を、つぎのような述語としましょう。すなわち、自己自身については述語づけられえない述語とします。この w は自己自身について述語づけられうるでしょうか？ できる・できないのいずれの答からもその反対が帰結します。それゆえ w は述語ではない、とわれわれは結論しなければなりません。同様にして、全体として自己自身に属さないところの諸クラスのクラス (全体としてのクラス) は存在しません。このことから私は、或る事情の下では、定義可能なクラスが全体を形成しないことがあると結論いたします。

[...]

追伸　上記の矛盾は、ペアノの概念記法ではつぎのように表現されます。

w = cls ∩ x з ( x 〜ε x ) .⊃: w ε w .=. w 〜ε w.

この件に関しペアノに手紙を出してありますが、彼はまだ返事をくれません。*10

 

感想

Russell は書簡で、まず Frege の考えをほめて、それに同意する旨を記しています。このようにして相手を尊重し、敬意を示して Russell は Frege に心を開いてもらおうとしています。そしてそのようにしたあとで、「Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet (ただ1点だけ、私は困難なことに出会いました)」と言って、問題を切り出しています。「Nur in einem Punkte (ただ1点だけ)」という表現が効果的でいいですね。きっと本当は1点だけでなく、他にもいろいろと Frege の考えていることに疑問があったと思うのですが、あれこれ細かいことを言っても仕方がないので、最重要点一つだけにしぼり、「他は全部同意見だが、これ一つだけが惜しいことに同意できないのです」といった感じで核心を突く指摘をしています。おもしろいですね。

 

Frege から Russell へ1902年6月22日返信

次に Frege から Russell への、Russell Paradox を含んだ第一報に対する返信です。

返信冒頭で Frege は、Russell の第一報に対するお礼を述べています。そして、この Russell 宛ての返信に同封した自分の論文抜き刷り五つのタイトルを列挙、Russell の第一報に関する事務的な問い合わせ、自著 Begriffsschrift 内に見つかった間違いの個所の指摘、これらそれぞれを順に記したあと、以下の原文に続きます。

原文

　Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf's Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in's Wanken geräth. Es scheint danach, dass die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit (§9 meiner Grundgesetze) nicht immer erlaubt ist, dass mein Gesetz V (§20. S. 36) falsch ist und dass meine Ausführungen im §31 nicht genügen, in allen Fällen meinen Zeichenverbindungen eine Bedeutung zu sichern. Ich muss noch weiter über die Sache nachdenken. Sie ist um so ernster, als mit dem Wegfall meines Gesetzes V nicht nur die Grundlage meiner Arithmetik, sondern die einzig mögliche Grundlage der Arithmetik überhaupt zu versinken scheint. Und doch, sollte ich denken, muss es möglich sein, solche Bedingungen für die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit aufzustellen, dass das Wesentliche meiner Beweise erhalten bleibt. Jedenfalls ist Ihre Entdeckung sehr merkwürdig und wird vielleicht einen grossen Fortschritt in der Logik zur Folge haben, so unerwünscht sie auf den ersten Blick auch scheint.

　Uebrigens scheint mir der Ausdruck „Ein Praedicat wird von sich selbst praedicirt‟ nicht genau zu sein. Ein Praedicat ist in der Regel eine Function erster Stufe, die als Argument einen Gegenstand verlangt und also nicht sich selbst als Argument (Subject) haben kann. Ich möchte also lieber sagen: „Ein Begriff wird von seinem eigenen Umfange praedicirt‟. Wenn die Function Φ(ξ) ein Begriff ist, so bezeichne ich dessen Umfang (oder die zugehörige Klasse) durch 》έΦ(ε)《 (die Berechtigung hierzu ist mir nun freilich zweifelhaft geworden). In 》Φ(έΦ(ε))《 oder 》έΦ(ε) ∩ έΦ(ε)《 haben wir dann die Praedicirung des Begriffes Φ(ξ) von seinem eigenen Umfange.

　Der zweite Band meiner Grundgesetze soll demnächst erscheinen. Ich werde ihm wohl einen Anhang geben müssen, in dem Ihre Entdeckung gewürdigt wird. Wenn ich nur erst den richtigen Gesichtspunkt dafür hätte! *11

 

直訳

　あなたの矛盾の発見は、私をこの上なく驚かせました。それどころか、狼狽してしまったと、私はほとんど言いたいぐらいです。なぜならそれにより、算術を打ち立てたと私が思ったその基礎が動揺に陥っているからです。それによるならば、同一性の普遍性を値域の同一性に変換することは (私の基本法則の第9節) いつでも許されるというわけではないこと、私の法則 V は (第20節 36ページ) 偽であること、そして私の記号結合 [= 私の基本法則体系において結合・形成された記号表現] にどのような場合でも意味を保証するという第31節での私による詳細な説明は十分でないこと、このようなことになるものと思われます。私はこの問題に関し、さらにもっと熟慮を重ねなければなりません。この問題については、私の法則 V の失効とともに、私の算術の基礎のみならず、算術一般の唯一可能な基礎までもが沈み去ってしまうように思われるだけに、よりいっそう深刻です。それにもかかわらず、私の証明の本質を保持し残しておくような、同一性の普遍性を値域の同一性に変換するための、そういう条件を立てることが可能でなければならないと、このように私は思わざるを得ないのです。いずれにしましても、あなたの発見は大変注目に値し、たとえ一見それは望ましからざるものと思われようとも、ことによるならば多大なる進歩を論理学に結果としてもたらすことでしょう。

　ところで「述語が自分自身について述語付けられる」という表現は、私には正確ではないと思われます。述語とは、通常、一階の関数であり、その関数はアーギュメントとして対象を要求し、そしてそれ故に自分自身をアーギュメント (主語) として持つことができません。故に私としては次のように言いたいのです。「概念がそれ自身の外延について述語付けられる」。関数 Φ(ξ) が概念ならば、その場合、私はその [概念の] 外延 (あるいはそれに付随するクラス) を 》έΦ(ε)《 によって指します (これに関し、その [表現にいつも外延を指す] 資格があることが、私には今やもちろん疑わしくなったのですが)。そうすると、》Φ(έΦ(ε))《 または 》έΦ(ε) ∩ έΦ(ε)《 によって、我々は、概念 Φ(ξ) の、それ自身の外延についての述語付けを得ます。

　私の基本法則の第2巻が、まもなく出版される予定です。私はそこに補遺を確かに付けねばならないでしょう。その補遺で、あなたの発見は価値あるものとして評価されます。そのために、私はせめて正しい観点が得られさえすればいいのですが！ *12

 

逐語訳

　Ihre あなたの　des Widerspruchs 矛盾の　Entdeckung 発見は、　mich 私を　auf's Höchste この上なく　hat ～ überrascht 驚かせました。　und それどころか、　hat ～ bestürzt 狼狽してしまったと、　ich 私は　fast ほとんど　sagen 言い　möchte たいぐらいです。　weil なぜなら　dadurch それにより、　die Arithmetik 算術　sich 自身を(?) *13 　aufbauen 打ち立てていると　ich 私が　zu ～ dachte 思った　auf dem その　der Grund 基礎が　in's Wanken 動揺に　geräth 陥っているからです。　danach それによるならば *14 、　einer Gleichheit 同一性の　der Allgemeinheit 普遍性を　in eine Werthverlaufsgleichheit 値域の同一性に　die Umwandlung 変換することは　(meiner 私の　Grundgesetze 基本法則の　§9 第9節)　immer いつでも　erlaubt ist 許される　nicht というわけではない　dass こと、　mein 私の　Gesetz V 法則 V は　(§20 第20節　S. 36 36ページ)　falsch ist 偽である　dass こと、　und そして　meinen 私の　Zeichenverbindungen 記号結合に　in allen Fällen どのような場合でも　eine Bedeutung 意味を　sichern 保証する　zu という *15　im §31 第31節での　meine 私の　Ausführungen 詳細な説明は　genügen 十分で　nicht ない　dass こと、　scheint と思われます。　Ich 私は　die Sache この問題に　über 関し、　noch さらに　weiter もっと　nachdenken 熟慮を重ね　muss なければなりません。　Sie この問題については、　meines 私の　Gesetzes V 法則 V の　mit dem Wegfall 失効とともに、　meiner 私の　Arithmetik 算術の　die Grundlage 基礎　nicht nur のみならず、　der Arithmetik 算術　überhaupt 一般の　einzig 唯一　mögliche 可能な　die ～ Grundlage 基礎　sondern までもが　versinken 沈み去ってしまうように　zu ～ scheint 思われる　als だけに、　um so ～ er よりいっそう *16　ernst 深刻　ist です。　Und doch それにもかかわらず、　meiner 私の　Beweise 証明の　das Wesentliche 本質を　erhalten 保持し　bleibt 残しておく　solche ～, dass ような *17 、　einer Gleichheit 同一性の　der Allgemeinheit 普遍性を　in eine Werthverlaufsgleichheit 値域の同一性に　die Umwandlung 変換する　für ための　Bedingungen 条件を　aufzustellen 立てることが　möglich sein 可能で *18　muss なければならないと、　ich 私は　denken 思わ　sollte ざるを得ないのです *19 。　Jedenfalls いずれにしましても、　Ihre あなたの　Entdeckung 発見は　sehr 大変　ist ～ merkwürdig 注目に値し *20 、　und かつ　so ～ auch たとえ *21　auf den ersten Blick 一見　sie それは　unerwünscht 望ましからざるものと　scheint 思われようとも、　vielleicht ことによるならば　grossen 多大なる　einen ～ Fortschritt 進歩を　in der Logik 論理学に　zur Folge ～ haben 結果としてもたらす　wird でしょう。

　Uebrigens ところで　Ein Praedicat 述語が　sich 自分　selbst 自身　von について　wird ～ praedicirt 述語付けられるという　der Ausdruck 表現は、　mir 私には　genau 正確　nicht ～ sein ではない　scheint ～ zu と思われます。　Ein Praedicat 述語とは、　in der Regel 通常、　erster Stufe 一階の　eine Function 関数　ist であり、　die その関数は　als Argument アーギュメントとして　einen Gegenstand 対象を　verlangt 要求し、　und そして　also それ故に　sich 自分　selbst 自身を　Argument アーギュメント　(Subject) (主語)　als として　haben 持つことが　nicht ～ kann できません。　also 故に　Ich 私としては　: 次のように　sagen 言い　möchte ～ lieber たいのです *22 。　Ein Begriff 概念が　seinem それ　eigenen 自身の　Umfange 外延　von について　wird ～ praedicirt 述語付けられる。　die Function Φ(ξ) 関数 Φ(ξ) が　ein Begriff 概念　ist である　Wenn ならば、　so その場合、　ich 私は　dessen Umfang その外延　(oder あるいは　die zugehörige それに付随する　Klasse クラス) を 　》έΦ(ε)《 　durch によって　bezeichne 指します　(hierzu これに関し、　die Berechtigung その資格があることが、　mir 私には　nun 今や　freilich もちろん　zweifelhaft 疑わしく　ist ～ geworden なったのですが)。　dann そうすると、》Φ(έΦ(ε))《　oder または　》έΦ(ε) ∩ έΦ(ε)《　In で、　wir 我々は、　des Begriffes Φ(ξ) 概念 Φ(ξ) の、　seinem それ　eigenen 自身の　Umfange 外延　von についての　die Praedicirung 述語付けを　haben 得ます。

　meiner 私の　Grundgesetze 基本法則の　Der zweite Band 第2巻が、　demnächst まもなく　erscheinen 出版される　soll 予定です *23 。　Ich 私は　ihm そこに　einen Anhang 補遺を　wohl 確かに　geben 付け　müssen ねばならない　werde でしょう。　in dem その補遺で、　Ihre あなたの　Entdeckung 発見は　gewürdigt wird 価値あるものとして評価されます。　dafür そのために、　ich 私は　nur せめて　richtigen 正しい　den ～ Gesichtspunkt 観点が　hätte 得られ　erst さえ　Wenn ～ 接続法第2式 (hätte) ～ ！ すればいいのですが！*24

 

既刊訳

　矛盾の御発見は思いがけぬことで私を非常に驚かせました。狼狽していると申したいほどであります。御発見によって私がその上に算術を築こうと考えた基盤が動揺に陥ったがためであります。そこでこれに応じてこう思われます。― 相等性の普遍性を値域の相等性へ変換すること (『算術の基本法則』 第9節) はつねに許されるわけではないこと、私の法則 V (同書第20節、36頁) は偽であること、第31節での説明はすべての場合に私の記号結合に対し意味を保証するには十分でないこと、であります。この問題に関してはさらによく考えてみなければならぬと存じます。私の法則 V の廃止と同時に私の算術の基礎のみならず、算術一般の唯一可能な基礎までが沈んでしまうように思えますので、それだけにこの問題はますます重大であります。しかしながら、私としてはこう考えるほかないのですが、相等性の普遍性を値域の相等性へ変換するための諸条件を定めて、私の諸証明の本質的部分を維持することは可能なはずであります。いずれにしましても学兄の御発見はきわめて注目すべきもので、いかに一見望ましくないものに見えましても、おそらく論理学における大きな進歩を結果としてもたらすことでしょう。

　ついでながら、「述語が自己自身について述語づけられる」という表現は私には正確とは思えません。述語とは通例、項 (Argument) として一つの対象を要求する第一階の関数でありますから、述語自身を項 (主語) としてもつことはできません。ですからむしろ「概念がそれ自身の外延について述語づけられる」と言いたいのです。関数 Φ(ξ) が概念である場合、私はその外延 (あるいは所属するクラス) を 'έΦ(ε)' で表記します (私も今ではたしかにそれを正当とする根拠に疑念を抱いておりますが)。すると 'Φ(έΦ(ε))' あるいは 'έΦ(ε) ∩ έΦ(ε)' は概念 Φ(ξ) をそれ自身の外延に述語づけたことになります。

　拙著 『算術の基本法則』の第2巻は間もなく出すつもりです。それには付録をつけまして学兄の御発見にしかるべき評価をいたさねばならぬことになりましょう。そのための正しい見方が私に得られさえすればよいがと願っております。*25

 

感想

Frege の返信で、引用した文の冒頭を見ると、次のように書かれています。「Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf's Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt (あなたによる矛盾の発見は、私を非常に驚かせました。狼狽してしまったと、ほとんど言いたいぐらいです)」。ここで興味を引くのは「bestürzt (狼狽して)」という表現です。

これはドイツ語の他動詞 bestürzen の過去分詞形です。bestürzen は「狼狽させる、びっくりさせる、度を失わせる」などと訳されるようです。この bestürzen は be という前綴りと stürzen という語幹から成ります。stürzen は「転倒する、転落する、突き落す、ひっくり返す」のような意味を持っています。そして前綴りの be は語幹の意味を強調するためによく付けられます。

これらのことを踏まえると、「bestürzt (狼狽して)」というのはイメージからすると、いきなり突き倒されたみたいな、突然ひっくり返ったみたいな感じで、日本語でなら「腰を抜かした」というのがニュアンスとして合っているかもしれませんね。

私はドイツ語の微妙なニュアンスまではわかりませんので、ドイツ語のネイティブの人が bestürzen にどんなイメージを抱くのか知りませんが、Frege は結構びっくりしたんでしょうね。ドイツ語原文で読むと、こういう細かいところまでわかって面白いですね。

 

さてこのあとは、内容に関する説明を少しします。「内容に関する話には、特に興味はない」という方はここで終わりです。これ以降は、テクニカルなことに若干触れますので、細かいことに関心のない方はここで閲覧を終了してください。とはいえ、このあとも特別難しい話をするわけではないので、暇で仕方がないという方は、読んでみてもいいかもしれませんが。

 

Russell 書簡補足説明 1

この書簡の終わり辺りに、Peano の記法で書かれた式が載っていました。次です。

w = cls ∩ x з ( x 〜ε x ) .⊃: w ε w .=. w 〜ε w.　3)

この式に対し、今回の書簡を編集した編者の先生方は註 (式末尾の '3)' ) を付しています。それによると *26 、この式は次のようなことを表わしています。「w が x ∉ x であるような x のクラスならば、w ∈ w ↔ w ∉ w が妥当になる」。

このことを念頭に置きつつ、次の文献で Peano の記法を調べてみました。

・　Giuseppe Peano　　''The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method,''　in J. van Heijenoort ed., From Frege to Gödel, Harvard University Press, 1967, originally published in 1889,

先ほどの式の '=' は、既に想像が付いていると思いますが、等号のことです (Peano, p. 87.　以下、丸カッコ内にページ数のみ記載)。詳しく言うと 'a = b' は、a から b が帰結し、かつ b から a が帰結することです (87)。'cls' はクラスを表わす記号だろうと推測されます。'∩' は「かつ (and)」です (87)。'з' は「～であるようなもの (the objects that)」を表わします (90)。たとえば 'з < y' は「y 未満のもの」を表わします (90)。これは英語の 'such that' みたいな感じのものです。つまり 'x such that F(x)' 「性質 F を満たすようなもの x」と同種のものです。そこから、上の式の 'x з ( x 〜ε x )' は、「x 〜ε x であるような性質を満たすもの x」となります。そして '～' は否定の記号だと推測されます。また 'ε' は「～である (is)」です (89)。'a ε b' は「a は b である」と読まれます (89)。最後に '⊃' は帰結関係を表わします (87.　このページの記号 'Ɔ' に対応)。たとえば 'a ⊃ b' なら、「a から b が帰結する」です (87)。簡単には「a ならば b 」と読んでよいかもしれません。*27

そうすると、今の式を大まかに言い直すなら、以下のようになります。「w はクラスであり (w = cls)　かつ (∩)　x は x 自身ではない (x 〜ε x)　ようなもの (з) ならば (⊃)、w が w であることと (w ε w)　w が w でないこととは (w 〜ε w)　同じことである (=)」。

 

Russell 書簡補足説明 2

Russell は書簡中で、次のようなことを言っていました。

Russell 「あなたは (17ページで) 関数もまた不定の要素を形作ることができる、と主張しておられます。(Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden.)」

この文で Russell は何を言おうとしているのでしょうか？ また「関数が不定の要素を形作ることができる」と、なぜ Russell Paradox が出てくると彼は考えているのでしょうか？

書簡編者解説を見ると、この個所に関して、以下のような記述があります。原文とともに試訳/私訳を付けます。

　In [dem Brief] äußert Russell Bedenken dagegen, daß Frege in der BS [= Begriffsschrift] den Übergang von den Zeichen bestimmter Funktionen zu Funktionsvariablen offenbar ohne Einschränkung zulassen möchte („Es kann auch umgekehrt das Argument bestimmt, die Function aber unbestimmt sein‟, BS, p. 17). *28

　件の書簡において、ラッセルは、フレーゲが『概念記法』で、確定している関数名から [不定な] 関数変項へ移行することを、明らかに無制限に許そうとしていることに対し、疑念を表明している (「逆に、アーギュメントもまた確定的であり得るのであり、しかし [その場合] 関数は不定であり得るのである」、『概念記法』、17ページ)。

この記述も踏まえて考えると、たぶんですが、Russell が問題の文で言おうとしているのは、簡単には、次のことだろうと推測します。ポイントだけを具体例に依りつつ説明します。

たとえば文「太郎は勤勉である」の「太郎」の部分を、不定なものを表わす 'x' に書き換えて、「x は勤勉である」とし、この 'x' に名前である「次郎」や「地球」など、任意のものを代入することができるでしょう。これに対し、今の文の「は勤勉である」の部分を、不定なものを表わす 'Φ' に書き換えて、「太郎Φ」とし、この 'Φ' に「は怠惰である」や「は素数である」など、任意の (命題) 関数 *29 を代入することもできると考えられます。そしてその 'Φ' にどのような (命題) 関数を代入するかに関しては、'x' に名前であれば何を入れてもよかったように、一切制限がないと思われます。(事実、Frege は当初 'Φ' に入れてもよい関数について、特に制限を課していないように見えます。G. Frege, Begriffsschrift und andere Aufsätze, 2. Aufl., hg., I. Angelelli, Georg Olms, 1964/1993, SS. 17-18.)　Russell が「関数もまた不定の要素を形作ることができる」と言っている時に言わんとしているのは、「文中の、関数の名前に相当する述語という要素を、不定な表現に形を変えて作り直すことができる」というような感じのことだろうと推測します。

これをもう少し言い直すと、ここで Russell が Frege に指摘しているのは、次のことだろうと思われます。つまり、Frege はどのような関数を考えてもよいとしており、(文なり式なりが適格に well-formed 形成されるのならば) 任意の関数が任意の (関数に対する) argument に入ってよいと認めている、ということです。今、'x', 'Φ' を変項とし、式 'Φx' を適格に形成し、この 'x' に任意の名前 'a' を、'Φ' に任意の関数の名前 (述語) を代入するならば、'Fa' という式ができ、すると 'Fa' には何も問題はなく、この式は至極真っ当であって、真か偽か、どちらか一方をそれは取るはずだと Frege は考えているのだ、このようなことを Russell は指摘しているのだろうと推測します。

そうすると、Frege が 'Φ' に代入してよい関数に制限を課していないことから、たとえば文「自分自身に述語付けられない述語は述語である」という (正しいであろう) 文から、上で示した方法により「自分自身に述語付けられない述語Φ」という関数の不定な表現を作り、この 'Φ' に「は自分自身に述語付けられない」という述語、(命題) 関数を代入して「自分自身に述語付けられない述語は自分自身に述語付けられない」という文を得ることができ、するとこのあと、ここからただちに Russell Paradox が引き起こされる、というわけです。

ちなみに、今回の書簡の英訳では Russell の文言「あなたは (17ページで) 関数もまた不定の要素を形作ることができる、と主張しておられます (Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden)」は、どのように表現されているでしょうか？

・　B. Russell　　''Letter to Frege,''　in J. van Heijenoort ed., From Frege to Gödel, Harvard University Press, 1967.

こちらを見ると (pp. 124-125),

'You state (p. 17 [...]) that a function, too, can act as the indeterminate element.'

となっています *30 。この英文は「あなたは (17ページで) 関数もまた不定の要素として働きうると述べておられます」という感じで訳せるでしょうか。bilden が act と訳されています。bilden は普通「形成する、教育する」と訳されますが、「～する、～である」とも訳されることがあるので、ここではこの後者の「～する、～である」の流れから、意訳して「働く、機能する」と英訳されているみたいです。

 

Russell 書簡補足説明 3

書簡中で Russell は、以下のようなことを言っていました。

「同様に、全体として自分自身に属していないクラスのクラスは、(全体としては) 存在しません。(Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören.)」

Russell によるこの文の中の「全体として自分自身に属していないクラスのクラス」とは、いわゆる Russell set のことだというのは Russell Paradox を知っている人であれば皆わかることですが、私によくわからないのは、この文に2回出てくる「全体として」という言い回しです。

これは Russell 特有の言い回しなのかもしれませんが、Russell の文献をほとんど読んでいない私にはよくわかりません。たぶんこれは次のようなことだろうと推測します。少し具体的な例で説明してみます。(文中の二種類の括弧、「　」、『　』は、さしあたり気にせずお読みください。)

 

今、クラス A には、a, b, c, ... 「全部」が属しているが、A 自身はここに属していないとします。

同様に、クラス B には、a', b', c', ... 「全部」が属しているが、B 自身はここに属していないとします。

同様にして、クラス C, D, E, ... を考えることができます。

そしてこれら A, B, C, D, E, ... 『全部』が属するクラスを R とすると、そのような R は存在しません。

 

これが、上の Russell の文「全体として自分自身に属していないクラスのクラスは、(全体としては) 存在しません」で言われているイメージだろうと思われます。

そしてこの Russell の文における最初の「全体として」に当たるのが、今上げた具体例の中の括弧「　」で括った二つの「「全部」」のことであり、もう一つの「(全体としては)」に当たるのが、今上げた具体例の中の括弧『　』で括った「『全部』」のことであろうと、このように思います。間違っていたらすみません。

 

Frege 書簡補足説明

今度は Frege → Russell 書簡について、内容に関する補足説明を若干します *31 。

ただし、この説明は一部推測を含みますので、そのまますべて正しいとは考えないでください。

Frege は書簡中で基本法則 V に言及しています。そこでこの法則を現代の記法に改めて、ここに記します。

　　基本法則 V:　'xFx = 'yGy ⇔. ∀z(Fz ⇔ Gz).

一般性は損なわれないので、話を概念に限ると、上の法則の左辺は概念 F の外延と概念 G の外延が等しいことを言っています。右辺は何であれ F に帰属するものは G にも帰属し、G に帰属するものは F にも帰属すると言っています。そしてこの法則全体としては、左右各辺の一方が他方の必要十分条件になっていること、あるいは両辺が同値であることを言っています。

さて Frege は技術的なことに関し、返信書簡中で少なくとも三つの指摘を行なっています。

 

[1]　同一性の普遍性を値域の同一性に変換することは、いつでも許されるというわけではないこと、

[2]　基本法則 V は偽であること、

[3]　『基本法則』 §31 での説明は不十分であること。

 

これらがどういうことを言っているのか、解説してみます。

 

Frege 書簡補足説明 1

一つ目の [1] ですが、ここの「同一性の普遍性」とは、基本法則 V の右辺のことです。それから「値域の同一性」とは V の左辺のことです。そしてこの前者から後者へと「変換する」とは、前者を前提すれば後者が帰結する、ということです。このことは (Va) と呼ばれる式で表わされます。

　　(Va)　'xFx = 'yGy .← ∀z(Fz ⇔ Gz).

そうすると、[1] は文字どおりには、基本法則 V の右辺から左辺へと推論すること (Va) は、いつでも許されるというわけではない、ということになります。

しかし、この書簡のあとに書かれる『基本法則』の後書きを考慮するならば *32 、Frege は [1] で、文字どおりに V の右辺から左辺へいつでも推論できるわけではない、と言っているのではない、と考えられます。というのは、よく知られているように、Frege は Russell Paradox の原因を分析した件の後書きで、(Va) には問題はなく、これは許される、と指摘しているからです。問題があると Frege が指摘したのは (Va) の逆、(Vb) と呼ばれる式です。

　　(Vb)　'xFx = 'yGy →. ∀z(Fz ⇔ Gz).

これを Frege の言い方で読み下せば、「値域の同一性を同一性の普遍性に変換すること」となります。

こうして (Va) と (Vb) を踏まえた上で、基本法則 V を Frege の流儀で読み下せば、「同一性の普遍性を値域の同一性に変換することも、逆に値域の同一性を同一性の普遍性に変換することも、ともに許される」とか「同一性の普遍性を値域の同一性に変換することと、値域の同一性を同一性の普遍性に変換することとは同じことである (gleichbedeutend)」とでもなるでしょう。基本法則 V においては、その右辺から左辺へ、あるいは左辺から右辺へ、どちらにも移行できるとか、左右両辺は結局同じことを言っている、という感じになります。

そうすると [1] で Frege が言わんとしていたのは、詳しく言えば、V の左辺から右辺へはいつでも移行が許されるというわけではないこと、大まかに言えば、少なくとも両辺は同じことを言っているのではないということ、以上のようなことだったのだと思われます。

 

Frege 書簡補足説明 2

次に [2] 基本法則 V が偽であるとは、どういうことでしょうか？

これも『基本法則』の後書きを考慮してみますと、上で述べたように、Frege が問題ありとしたのは

　　(Vb)　'xFx = 'yGy →. ∀z(Fz ⇔ Gz)

でした。この式の左辺が言えても右辺がいつでも言えるとは限らないので、(Vb) が偽になる場合があり、これにより V 全体としても偽の場合があると Frege は考えていたのではないかと思われます。

ではどうしたら (Vb) から偽であることが出てくるのでしょうか？ *33

(このあとの論証は、ゆっくりと繰り返し、読んでみてください。直観的な説明でよいなら一瞬でできる説明を、わかりやすくするため、論を一歩一歩運び、引き伸ばしています。そのため、かえってわかりにくいかもしれません。どうかご容赦ください。)

 

まず、(Vb) の一例を大まかに表わすと、たとえばこうなります。

　　[(Vb) 例文]　　人間 = 理性的動物　→.　どんなもの z も、 z は人間である　⇔　z は理性的動物である

これを、ひねって言い換えると、

　　[(Vb) 例文変形]　　「～は人間である」に「人間」が対応するならば、これと同じ「人間」が対応する「～は理性的動物である」には、「～は人間である」に当てはまるものとちょうど同じものが当てはまる *34 。

いささか回りくどいですが、[(Vb) 例文] がわかれば [(Vb) 例文変形] もわかると思います。

そこでこの変形を念頭に置いて、元の (Vb) を次のように言い換えます。

　　(Vb1)　概念 F(ξ) に外延 'xFx が与えられるならば、これと同じ外延 'xFx が与えられた概念 G(ξ) にはどれも、F(ξ) に帰属するのとちょうど同じものが帰属する。

そして以下のような概念 R(ξ) を考えます。

　　[R(ξ)]　　～は、それが与えられた概念には帰属しない外延である。

　　　　　　　　(= ～は、ある概念に与えられた外延であって、その外延はその概念に帰属しない)

そしてこの概念に与えられる外延を、次の R とします *35 。

　　R　　それが与えられた概念には帰属しない外延

　　　　　(= R は、ある概念に与えられた外延であって、その外延 R はその概念に帰属しない) *36

ところで (Vb1) における概念 F(ξ) は任意の概念です。そこでこの F(ξ) に R(ξ) を代入すると、(Vb1) における外延 'xFx は R となり、以下のように書き換えられます。

　　(Vb2)　概念 R(ξ) に外延 R が与えられるならば、これと同じ外延 R が与えられた概念 G(ξ) にはどれも、R(ξ) に帰属するのとちょうど同じものが帰属する。

 

さて、R は R(ξ) に帰属するか否かでしょう。まず、帰属すると仮定してみます。以下の文の中の記号「￢」は否定記号で、「～ではない」と読まれます。

 

仮定: R は R(ξ) に帰属する

今、R が R(ξ) に帰属すると仮定します (R(R))。すると [R(ξ)] により、R は、それが与えられた概念には帰属しない外延です。ところで (Vb2) における概念 G(ξ) の一つは R(ξ) です。したがって、(Vb2) の G(ξ) を R(ξ) に代えたその R(ξ) にも R は帰属するはずです (R は R(ξ) に帰属すると仮定していたのですから)。しかし今確認したように、[R(ξ)] によって、R は、それが与えられた概念 R(ξ) には帰属しません (￢R(R))。故に、R が R(ξ) に帰属するならば (R(R))、R は R(ξ) に帰属しません (￢R(R))。これは矛盾です。したがって、R が R(ξ) に帰属するという仮定は間違っており、それは否定されねばなりません。こうして R は R(ξ) に帰属しない、ということが正しいと結論できます。

 

今度は R は R(ξ) に帰属しないと仮定してみます。

 

仮定: R は R(ξ) に帰属しない

今、R が R(ξ) に帰属しないと仮定します (￢R(R))。すると、[R(ξ)] により、R は、それが与えられた概念には帰属しないというような外延ではありません。しかし、R が何らかの概念に与えられた外延であることに間違いはないので、今述べたことは、言い換えると R はそれが与えられた概念に帰属する外延だ、ということです。そうすると、(Vb2) により、仮定どおり R が R(ξ) に帰属しないとするならば、G(ξ) を R(ξ) に代えたその R(ξ) にも R は帰属しないはずです。しかし今確認したように、[R(ξ)] によって、R は、それが与えられた概念に帰属します (R(R))。故に、R が R(ξ) に帰属しないならば (￢R(R))、R は R(ξ) に帰属します (R(R))。これは矛盾です。したがって、R が R(ξ) に帰属しないという仮定は間違っており、それは否定されねばなりません。こうして R は R(ξ) に帰属する、ということが正しいと結論できます。

ここまでで、R は R(ξ) に帰属しない、ということが正しいと結論できたとともに、R は R(ξ) に帰属する、ということが正しいと結論できました。よって、R は R(ξ) に帰属し、かつ帰属しない、と結論できます。

 

以上により、(Vb2)、あるいは結局 (Vb) を使えば、矛盾した文「R は R(ξ) に帰属し、かつ帰属しない」が出てきます。このような矛盾した文を真にすることはできません。つまりこの文は偽です。よって (Vb)、あるいは結局基本法則 V には、偽になる場合があることがわかります。

これが大まかな推測ながら、[2] で Frege が言おうとしていたことなのかもしれません。

 

Frege 書簡補足説明 3

今度は [3] です。『基本法則』の§31の説明が不十分であるとは、どういうことでしょうか？ その説明は§31の前、§30の説明と密接な関係があります。

『基本法則』では一つの論理体系が提示されています。論理体系には、それを構成する基本的語彙と、その語彙を組み合わせて複合的な表現を作る文法があります。日本語の体系に、基本的な単語と、これらを組み合わせる日本語文法、国文法があるようなものです。

大体のところ、『基本法則』§30では、この文法が示されています。日本語でたとえるなら、「太郎は子供である」という表現から「太郎」という名前を削除して「～は子供である」という表現を作ることができ、続いてこの「～」の部分に「花子」を入れて「花子は子供である」という表現を作ることができる、という感じです。

そして§31では、やはり大まかな言い方をすると、この論理体系の最も基本的な語彙が列挙され、これらすべてが意味 (Bedeutung) を持っていることが確認されます。加えてこれらの基本的語彙から、§30の文法を使って構成されるどんな複合的表現も意味を持つことが確認されます。こうして基本法則体系を構成する表現は、基本的なものであれ、複合的なものであれ、いかなるものも意味を持っているとされるわけです。

しかし Frege は、この§31での説明は不十分であると言います。なぜでしょうか？ 問題の§31の説明では、基本法則体系のすべての表現には意味があることになっています。しかし、Frege は、Russell の Paradox により、基本法則体系の表現の中には意味を持っていないものがあると考えたのです。Russell の Paradox により引き起こされる矛盾から、基本法則体系のある表現は意味を持たないと Frege は判断しているのです。そのため§31の説明は不十分だと Frege は言っているのです。

これに関し、今取り上げている書簡のあと、Frege が Russell に送った別の書簡 (1902年6月29日付) を見てみましょう *37 。書簡原文と、直訳風の試訳/私訳を掲げます。

 

　Was den von Ihnen aufgefundenen Widerspruch betrifft, so verstehe ich vielleicht nicht ganz, was Sie darüber sagen. Sie wollen, wie es scheint, Formeln wie » φ〔έφ(ε)〕« verbieten, um den Widerspruch zu vermeiden. Aber wenn Sie ein Zeichen für den Umfang eines Begriffes (eine Klasse) überhaupt als bedeutungsvollen Eigennamen zulassen, also die Klasse als Gegenstand anerkennen, so muss diese Klasse selbst entweder unter den Begriff fallen oder nicht; tertium non datur. Erkennen Sie die Klasse der Quadratwurzeln aus 2 an, so ist die Frage nicht zu umgehen, ob diese Klasse eine Quadratwurzel aus 2 sei. Sollte sich zeigen, dass diese Frage weder bejaht noch verneint werden könnte, so wäre damit der Eigenname »έ(ε2 = 2)« als bedeutungslos erkannt. *38

　あなたによって見出された矛盾に関して言えば、私はあなたがそれについて述べていることを、ひょっとして完全には理解していないのかもしれません。見たところ、あなたは矛盾を回避するために、» φ〔έφ(ε)〕« のような式らを禁止したいと思っておられるようです。しかし、もしもあなたが、そもそも概念の外延 (クラス) に対する記号を、意味を持った固有名として許すのなら、それ故、クラスを対象として認めるのなら、その時、このクラス自身は、その [クラスを伴っている] 概念に帰属するか否かのどちらかでなければなりません。排中律が成り立ちますから。あなたが2の二つの平方根からなるクラスを認めるのなら、その場合、このクラスがその2の平方根のうちの一つであるかどうかという問題は、避けることができません。万一この問題には、「はい」とも「いいえ」とも答えられ得ないことが明らかになるならば、その場合、それにより固有名 »έ(ε2 = 2)« は意味を持っていないと見なされるでしょう。 *39

ここで注目したいポイントは次です。

この書簡では、たとえば名前「太郎」を使って「太郎は人間である」と「太郎は人間でない」というような矛盾が出てくるようなら、「太郎」というような名前は意味 (Bedeutung) を持っているように見えて、実は意味を持っていない、ということが主張されている点です。Frege にとって、ある名前を使って矛盾が出てくるようならば、その名前には意味がないのです。

そして実際に問題を引き起こすのが、概念の外延の名前です。今「～は自分自身に述語付けられない述語である」という述語を R(ξ) と記し、この述語の表わす概念の、その外延を指す名前を 'R とすれば、Russell Paradox により、R('R) から矛盾が出てきます。よって Frege の考えでは、概念の外延に対する名前の一つである 'R には、『基本法則』§31の説明からして、あるはずの意味が実際にはないことになってしまうのです。

 

補遺: Russell Paradox 述語 (性質) 版

最後に補遺として、Russell の Paradox の述語 (性質) 版の説明文を記しておきます。

 

Russell Paradox 述語 (性質) 版

さて、

　　太郎は長男である。

と言う時、主語「太郎」について、述語「～は長男である」を述語付けている、と言います。

また、

　　短いは短い。

も、主語「短い」について、述語「～は短い」を述語付けています。この文は、「短い」という語に自分自身を述語付けている、とも言えます。

「短い」という語は、実際に短いでしょうから、「短い」という語に自分自身を述語付けることができて、その結果である上の文「短いは短い」は正しいものとなります。

さらにまた、

　　長いは長い。

も、主語「長い」について、自分自身を述語付けていますが、「長い」という語は長くないでしょうから、実際には「長い」という語に自分自身を述語付けることはできず、自分自身を述語付けたとしても、その結果である上の文「長いは長い」は正しくはなりません。

 

ここで、ちょっと変った語を考えます。それはここまで使ってきた「述語付けることはできない」、「述語付けられない」という語です。そうしてこの語は自分自身に述語付けられるか否かを調べてみましょう。

 

この「述語付けられない」という語は、(1) 自分自身に述語付けられるか、あるいは (2) 自分自身に述語付けられないか、どちらかでしょう。

 

そこでまず、(1) 自分自身に述語付けられると仮定してみましょう。すると「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられるのだから、その語を自分自身に述語付けて、次のように言うことができます。

　　述語付けられないは述語付けられない。

ところで、先ほど、

　　短いは短い。

と言えることを見ました。そして事実、この文の述べていることは正しいことを見ました。この文が正しいということは、「短い」という語が短いという特徴を持っている、ということです。

同様に、「述語付けられないは述語付けられない」と言えるのなら、この文は正しく、かつ「述語付けられない」という語が述語付けられないという特徴を持っている、ということです。したがって、「述語付けられない」という語は述語付けられないという特徴を持っているのだから、

　　述語付けられないは述語付けられない。

と言えます。

こうして (1) 「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられると仮定すると、今しがた述べたように、述語付けられないは述語付けられません。つまり、「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられません。この結果は仮定に反します。これは (1) のように仮定したために、それに反した結果が出てきたのですから、仮定 (1) は否定されねばなりません。よって、次が正しいと言えます。

　　(1a)　「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられない。

 

続いて今度は、「述語付けられない」という語が、(1) 自分自身に述語付けられるか、あるいは (2) 自分自身に述語付けられないか、どちらかのうち、(2) であると仮定してみましょう。つまり、

　　(2) 「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられない。

と仮定してみます。

ところで先ほども見たように、

　　短いは短い。

と言えるならば、「短い」という語には短いという特徴が備わっているということでした。そのような特徴が備わっているからこそ、「短いは短い」と言っていいのでした。

同様に、仮定 (2) のように言えるなら、「述語付けられない」という語には述語付けられないという特徴が備わっているということです。ならば、

　　述語付けられないは述語付けられない。

と言っていいということです。この時、「述語付けられない」という語には、自分自身である述語「～は述語付けられない」を述語付けることができています。

こうして (2) 「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられないと仮定すると、今述べたように、自分自身に述語付けることができます。この結果は仮定に反します。これは (2) のように仮定したために、それに反した結果が出てきたということですから、仮定 (2) は否定されねばなりません。したがって、次が正しいということになります。

　　(2a)　「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられる。

 

ここまでで得た、正しい結果を並べてみましょう。

　　(1a)　「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられない。

　　(2a)　「述語付けられない」という語は自分自身に述語付けられる。

どちらも正しいことを述べた文です。それぞれについて、上のごとく証明がありますから、それぞれ正しい文です。しかし、これは矛盾しています。

 

これで終わります。長くなってすみません。Frege と Russell の書簡原文を引用し、その翻訳を付けて終わりにしようかとも考えたのですが、それだけではあまり面白くないかなと思って補足を付けると、予定の倍ぐらいの長さになってしまいました。ブログにしては長いですね。

以上の記述に対しては、いつものように誤解、無理解、勘違いなどが含まれているかもしれません。そうでしたらごめんなさい。私の翻訳も、誤訳、悪訳がいろいろと含まれているでしょう。改善すべき点が山のように残っていると思います。これについても申し訳ありません。また勉強し直します。

 

*1:Russell は Frege にドイツ語で書いています。なお、今日も軽い気持ちで遊ぶようにこの文章を書いていますので、そのつもりで気楽にお付き合いいただければありがたく思います。

*2:Russell Paradox の述語版はよく知らないが、集合論版なら知っているという方は、この述語版の説明を読む必要はないと思います。集合論版を知っていれば、大体見当が付くと思いますので。

*3:直訳の方針を述べます。[1] できるだけドイツ語原文に出てきている単語はすべて拾い上げ、訳に反映させるように努めました。ただし完全ではありません。また、[2] 原文で主語となっているものは和訳でも主語で、目的語は目的語で、名詞は名詞で、動詞は動詞で、というように、対応させるように訳すことを心がけました。これももちろん完全ではありません。[3] 原文で能動態の文は和訳でも能動態で、原文受動態は、和訳でも受動態で訳すようにしました。しかしすべてそのようにできたわけではもちろんありません。原文に man が出てくる文や、主観的心情を表明する scheinen が出てくる文などは、たびたび受動態で訳出しています。[4] ドイツ語の代名詞は、読みやすさを考慮し、その代名詞が指しているものを訳語にしていることがしばしばあります。たとえば「彼は」を「太郎は」などと訳しています。[5] 原文にない言葉を和訳で補う必要がある時は、引用文内で括弧 [　] を使いましたが、使わずに補っている場合があります。ただしそのような補足の数は、最小限にしてあります。

*4:一言申し添えておきますと、意訳より直訳のほうが優れている、と言いたいのではありません。どのような訳出スタイルにするかは、用途によって選べばよいと考えています。

*5:Freges Briefwechsel, SS. 59-60, Briefwechsel, SS. 211-212.

*6:訳者註: この直訳は、まず既刊の訳を見ずに自分で訳し (と言ってもずいぶん前に既刊訳は拝見させていただいておりましたが)、それから既刊の訳と突き合せて確認を取りました。こうして確認は取ったものの、たぶん大過ないようだったので、この直訳に訂正は施しておりません。いずれにせよ既刊の訳文を作成された土屋純一先生に感謝申し上げます。

*7:直訳の各語句に、ドイツ語原文の語句を前置させる逐語訳を以下に掲げます。これは、関口存男先生が一部行なっておられた訳出スタイルです。(この訳出スタイルは関口先生以前からあったものなのかどうか、よくは知りませんが。)　関口存男、『独逸語大講座　第3巻』、読本の部、三修社、1931/1994年、およびその『第4巻』、読本の部、1931/1994年、『関口・初等ドイツ語講座　中巻』、三修社、2005年、およびその『下巻』、2005年。そして参考までに一部、簡単な文法事項について、註記を施しておきます。

*8:この原文中の es は形式主語の es.　後出の die Funktion を指示。

*9:引用者補足: ここで土屋先生は「無限の」と訳しておられます。この「無限の」は 'unbestimmte' の訳です。このドイツ語は普通、「無規定の、不確定の」などと訳され、「無限に多くの、無限に大きい」というような意味はなかったと思いますので、この語を先生はたぶん「無制限の」という意味で訳しておられるのではないかと推察します。「夜空に広がる無限の星々」の「無限」ではなく、「制限がない、限定されていない」というような意味での「無限」です。間違っていましたらすみません。補足終わり。

*10:『書簡集』、118-119ページ。

*11:Freges Briefwechsel, SS. 61, 63, Briefwechsel, SS. 213, 215.

*12:訳者註: この直訳も、最初に既刊の訳を見ず自分で訳し、そのあと既刊の訳と突き合せ確認を取りました。その結果、二か所誤訳していることに気が付きました。特にそのうちの一点はひどい誤訳でした。第二段落冒頭で Frege は「Uebrigens scheint mir der Ausdruck „ ... ‟ nicht genau zu sein」と言っていますが、私はこの文の中の「nicht genau (正確でない)」を「nicht genügen (十分でない)」だと思い込んで訳していました。この前の段落でその「nicht genügen」という言い回しが出てくるので、それに引きずられてしまったのかもしれません。何にせよ既刊の訳文作者土屋純一先生に助けられました。誠にありがとうございます。訳者註終わり。

*13:正直に言って、この sich が何なのか、私にはよくわかりません。auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte の aufzubauen か dachte と組みになって再帰代名詞として使われているなら、ここでの主語は ich ですから、その場合 sich は mir か mich になっていなければなりませんが、そうはなっていませんので、この sich は aufzubauen と dachte とは関係ないと思われます。sich にはいくつか特殊とも言える用法がありますが、ここでの sich は、たとえばいわゆる搬動語法でもなければ結果挙述の形容詞に伴う sich でもありません。もちろん相互関係「お互いに」を表わす sich でもなければ sich ～ lassen の sich でもなく、無拘束/自由3格関係の sich でもないように思われます。サッカーボールのように分厚い次の本、牧野紀之編著、『関口ドイツ文法』、未知谷、2013年でも調べてみましたが、私の調べ方が悪いのかよくわかりません。ただ、この『関口ドイツ文法』で、「不定句の中の再帰代名詞はその不定句の中の適当な語を受けます」とあり (p. 820)、このことからすると、あと私に考えられるのは sich が直前の die Arithmetik を受けて、冗語的に「自身・自体」の意味を持っていることぐらいかと思われました。他に私の見落としている sich の用法があるのかもしれません。あるいは私は sich の初歩的な用法を理解していないのかもしれません。確信が持てませんでしたので、上の「直訳」の中では訳出しませんでした。このあとに掲げる「既刊訳」でもことさら訳出はされていないようです。またこのあと本文中でも言及する著名な英訳アンソロジー From Frege to Gödel でも、この書簡の英訳中では問題の sich は明示的には訳出されていません。そこで私もあえて訳出せずにおきました。sich について、私が何か無知・無理解なところがあるようでしたらすみません。

*14:Es scheint danach の Es は、原文このすぐあとの dass 文を指示している形式的主語。

*15:原文前方の Ausführungen にかかる zu 不定詞の形容詞的用法。

*16:「um so 形容詞の比較級, als ～」で、「～だけに、それだけいっそう (比較級) である」という構文。

*17:「solch 名詞, dass ～」で、「～ なほど (名詞) である」、「～ であるような (名詞) である」。

*18:es möglich sein の es は、原文後出の aufzustellen の zu 不定詞句を指示。

*19:この接続法第2式の sollte は、心理的抵抗を押し切ってでも、あることを思わざるを得ない、信じざるを得ない、などということを表わすのに使われます。詳しくは次を参照ください。関口存男、『ドイツ文法　接続法の詳細』、三修社、2000年、335-336ページ。ここで関口先生はこの用法の sollte に特に名前を付けておられませんが、私は個人的にこの用法の sollte を「心理的強制の sollte」と呼んでいます。なお、この sollte は、切迫した調子で「思わざるを得ない」と訳すよりも、ごく軽く「思われる」と訳したほうがよい文脈もあります。

*20:merkwürdig は現在では「奇妙な」という意味が普通ですが、古くは「注目に値する」、「重要な」という意味を持っていました。

*21:認容の so.　一般に「so + 形容詞/副詞 + 主語 + auch + 動詞」で、「たとえ ～ であろうとも」。

*22:接続法第2式 (ここでは möchte) と gern, lieber, am liebsten, besser, am besten などが用いられると、いわゆる外交的接続法となって要望を表わします。前掲の関口、『接続法の詳細』、305-307ページ、または次を参照ください。常木実、『接続法　その理論と応用』、郁文堂、1960年、93-95ページ。

*23:いわゆる「予定・計画の sollen」。文字通り「～する予定/計画である」や、「～することになっている」などと訳されます。ただし、以下に掲示する土屋先生の既刊訳のように、この sollen を話者の意志を表明している sollen と取ることも可能だと思われます。

*24:「Wenn + 接続法第2式 ！」という単独文で、「～であればなぁ」という願望を表わします。前掲関口、『接続法の詳細』、280-281, 166ページ、常木、『接続法』、81-82ページ。

*25:『書簡集』、120-121ページ。

*26:Freges Briefwechsel, S. 60, Anm. 3, Briefwechsel, S. 212, Anm. 3.

*27:なお、これらの記号の説明については、1891年刊行の文献から和訳されている以下の書籍でも調べてみました。G. Peano, 『数の概念について』、小野勝次、梅沢敏郎訳、現代数学の系譜 2,　共立出版、1969年。問題の記号について、似たような説明がこの和書にも見えますが、その説明がこの本のあちこちに、かなり離れて散在しており、ちょっと面倒なのでここにそのページ数を記載することは割愛します。すみません、小野先生、梅沢先生。ちなみに 'з' の説明は、この本に出ていないように見えます。(見落としていたらごめんなさい。)　しかしこの記号に類似した機能を果たす記号として、'xεC' が本書では使われています。これは「条件 C を満たすような x」のことです。同書、59, 82ページをご覧ください。

*28:Freges Briefwechsel, S. 49, Briefwechsel, S. 201.

*29:Russell の propositional function を想起させるために「(命題) 関数」という言葉を使っていますが、厳密に使っているわけではありません。私は Russell の propositional function のことについてはよく知りませんので。

*30:ちなみにこの英訳は、Russell 自身も目を通して了承した訳です。From Frege to Gödel, p. 124.

*31:以下では Frege の主著『算術の基本法則』にたびたび言及しますが、ちょっと手間ですので、ページ数は明記しません。どれも初歩的なことであり、よく知られていることですので、逐一明記するのを控えます。一応文献名だけ記しておきます。Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik I/II, mit Ergänzungen zum Nachdruck von Christian Thiel, Georg Olms, 1998,　G. フレーゲ、『算術の基本法則』、野本和幸編、フレーゲ著作集 3, 勁草書房、2000年。

*32:Frege がまだ書いていない文献を、この書簡中に読み込んで考慮することに対しては、異論があるかもしれません。しかし、その書かれていない『基本法則』の後書きも、この書簡のあと、二、三か月以内に書かれていると考えられますので (この書簡は6月下旬起草、問題の後書きが書き終えられたのは同年10月)、この書簡で件の後書きを考慮することは決して無茶とまでは言えないでしょう。まぁ、それに今ここで私は研究を展開しているわけではないので、このあたりのことはどうかお許しください。

*33:以下の論証は、次の文献該当ページの論証に基付きます。M. Furth, ''Editor's Introduction,'' in his tr. and ed., G. Frege, The Basic Law of Arithmetic, University of California Press, 1964/1967, p. xlvi.

*34:「～は理性的動物である」には、「～は人間である」に当てはまるものとちょうど同じものが当てはまる」とは、「～は人間である」 に当てはまるものは 「～は理性的動物である」 にも当てはまり、「～は人間である」 に当てはまらないものは 「～は理性的動物である」 にも当てはまらない、ということです。

*35:なお、ここまで概念や外延について語ってきましたが、概念についてはいいとしても、外延とは何かという疑問を持たれる方がおられるかもしれません。しかし外延が何であるかについては、この後の話には関係ありませんので、それが正確に言って何であるかについては気にされなくても大丈夫です。一つ、二つと数えることのできる何らかのもの、というほどの理解で十分です。

*36:R(ξ) と R とは別のものですので注意してください。たとえば「～は赤い」は形容詞であるのに対して、「赤色」は名詞であって、互いに別物です。

*37:この書簡の該当個所に注意すべきことは、本書簡集編者解説に教えられました。Freges Briefwechsel, S. 50, Briefwechsel, S. 202.

*38:Freges Briefwechsel, S. 65, Briefwechsel, S. 217.

*39:念のため、土屋純一先生のきちんとした訳を記しておきます。「御発見の矛盾につきましては、学兄がそれについて述べておられるところを私はあるいは十分理解していないかも知れません。'φ{έφ(ε)}' のような式は矛盾を避けるために禁止したいというのが御趣旨のように思われます。しかしもし学兄が概念の外延 (クラス) を表わす記号を一般に有意味な固有名として許容され、したがってクラスを対象として認知なさるならば、このクラス自体は当の概念の下に入るか入らないかのいずれかでなければなりません。排中律により第三の可能性はありませんから。もし2の平方根のクラスをお認めなら、このクラスは2の平方根であるか否かという問題を回避するわけには行きません。万一この問題は肯定も否定もできないことがはっきりするとしたら、同時に 'έ(ε2 = 2)' なる固有名を無意味と認めることになってしまいます。」 『書簡集』、124ページ。