先日次のLandini論文を入手してぱらぱら眺めていた。
- Gregory Landini “The Ins and Outs of Frege's Way Out”, in: Philosophia Mathematica, vol. 14, no. 1, 2006
この論文で興味深く感じる点を一つ、簡単に記しておきたい。
この論文は、Russell's Paradoxに対するFregeの対処について論じられている。
Abstractを掲げる。
Confronted with Russell's Paradox, Frege wrote an appendix to volume II of his Grundgesetze der Arithmetik. In it he offered a revision to Basic Law V, and proclaimed with confidence that the major theorems for arithmetic are recoverable. This paper shows that Frege's revised system has been seriously undermined by interpretations that transcribe his system into a predicate logic that is inattentive to important details of his concept-script. By examining the revised system as a concept-script, we see how Frege imagined that minor modifications of his former proofs would recover arithmetic.
ところでまず史実を極手短に確認しておきたい。
私達の知っているところでは以下のようである。
Fregeは自らのlogicを完成させ、それを本にして出版しようとしていた矢先、Russellにそこから矛盾が出ることを教えられる。
急遽Fregeは自分のlogicを手直しし、修正版を出版する。彼はこれなら大丈夫だと考えていた。
しかし後になって、まず最初にLesniewskiにより、Fregeの修正版logicからも矛盾が出ることが証明される。
この結果はSobocinskiによる報告から知られるようになった。
その後、GeachもFregeの修正版logicから矛盾が出ることを証明する。
そしてこの後にQuineが、Geachの証明の条件を少し緩めたものからも矛盾が帰結することを証明した。
これらの一連の結果、私達はFregeのlogicからは、たとえその修正版といえども矛盾しているのだと知るに至った。
以上は歴史的な事実であろう*1。
ところで上記のLandini論文は、このような歴史的事実に対して反旗を翻している。
このような歴史的事実を、いわば否定しているのである。
一体何をどう否定しようというのだろう？
既定の事実と目されている、Frege's Logicの矛盾へと至る顛末に対し、どう否定できるのか？
その答えとして、Landiniさんのお考えでは、Lesniewski/Sobocinski, Geach, Quine方々の証明は、Fregeの修正版logicを彼らなりに剪定した改訂版のFrege's 修正版logicからの矛盾証明である。そしてこの改訂版のFrege's 修正版logicはFrege自身の修正版logicからは大きく外れてしまっている。それらはFregeの修正版logicに忠実ではない。したがってそこから矛盾が帰結するとしても、歴史的観点から言えば、厳密にはFregeの修正版logicが矛盾していることを証明したことにはならない、ということだそうである。
Landiniさん自身の言葉を引用してみよう*2。
Sobocinski reports that Lesniewski proved the inconsistency of Frege's revised system in 1938. Geach generalized the Lesniewski proof and showed a contradiction in a Fregean system couched in first-order predicate logic extended by the symbol ‘∈’ and terms of the form‘zfz governed by the axiom schema
(G) (x)(x ∈‘zfz .≡. fx & x ≠‘zfz).
Quine found a similar contradiction based on the weaker schema:
(Q) (x)(x ≠ ‘zfz :⊃: x ∈‘zfz .≡. fx).
Unfortunately, neither of the systems of Geach or Quine characterize Frege's revised system with historical accuracy. We can readily see this by observing that Frege retained his definition of x∩y (‘membership’) in the revised system, while Geach rejects it outright since it is incompatible with (G). Quine does not work from BLV’[Revised Basic Law V] at all. He takes‘∈’as a primitive sign governed by the axiom schema (Q). Thus, the derivations offered by Geach and Quine do not show that Frege's revised system is inconsistent, for neither of those systems does justice to Frege.
It is important to recall that Frege worked within a Begriffsschrift or concept-script and not a second-order predicate calculus. Working straightforwardly with a transcription into a theory of classes couched within a first-order predicate calculus, or within a second-order theory of classes, undermines Frege's system.
確かにFregeのlogicを安易に現代風のlogicに置き換えることは問題があるようである*3。
別段GeachさんもQuineさんも、怠惰から安易に流れたわけではなかろうが、Landiniさんのご診断によると、両人の証明は歴史的には不正確であるそうだ。だから彼は次のように大胆に言い放つ*4。
[W]e now see that neither Geach nor Quine offer faithful representations of the [Frege's revised] system. So the very question of whether Frege's way out is inconsistent has not yet been settled.
マジですか!? という感じである。今だかつてFregeのBasic Law Vを修正したversionから、その不整合性を証明した者はいない! RussellのParadoxが発見されて100年以上たっている、かつFregeがBasic Law Vを修正したversionを提示して100年以上たっているというのに!
というわけで、Landiniさん御自ら今ここで取り上げている論文で、史上初めてFregeのBasic Law Vを修正したversionから、その不整合性をfaithfulに証明する! ということである。すごい…。
ところでLandiniさんは、GeachさんとQuineさんの証明について、考察を加えておられるが、Lesniewski/Sobocinskiさんの証明については、それがfaithfulかどうか、実際には詳しい検討をされていないようである。
念のため、Lesniewski/Sobocinskiさんの証明が載っている文献を調べてみる。その証明は次の論文のsection‘IV Frege's Correction’に出ている。
- Boleslaw Sobocinski “Lesniewski's Analysis of Russell's Paradox”, in: J. Srzednicki, V.F. Rickey, J. Czelakowski, ed., Lesniewski's Systems: Ontology and Mereology, Martinus Nijhoff, Nijhoff International Philosophy Series, vol. 13, 1984 (originally published in French in 1949-50.)
見てみると、そこでの証明は、Lesniewskiの独自のlogicであるOntologyによる証明である。
このOntologyとFregeのlogicとが正確にはどのような関係にあるのか、私は知らないのだが、少なくとも一見してわかるのは、両者はまったく別のsystemと見なされるべきだろうということである。というのもよく知られているように、Ontologyは繋辞を表す‘ε'を論理的な単位として認めるが、Fregeのsystemではそれはまったく認められないし、それを認めてしまったら、それはFregeのsystemではあり得ないだろうということである*5。
こうして、LandiniさんはLesniewski/Sobocinskiさんの証明について、それがfaithfulかどうか、実際には詳しく検討されていないものの、以上からどうやらLesniewski/Sobocinskiさんの証明はfaithfulではなかろうということである。
かくして誰もfaithfulではなかったので、ここに史上初めてLandiniさんがfaithfulに不整合性を証明する! というわけだ。ちょっとすごすぎる…。
