Professor Brady's Book Universal Logic


  • Ross Brady  Universal Logic, CSLI Publications, Center for the Study of Language and Information Lecture Notes, no. 109, 2006

この本は title からは何の本なのか、とてもわかりにくいと思う。
Title が怪しすぎたからである。
個人的な感想を述べることを許していただけるならば、現在において、universal な logic, the Logic, とでもいえるような logic を求めるという試みは、大抵の人にとって気乗りしない試みだと思う。20世紀半ばの、modal logics が乱立し始めた時期ならいざ知らず、今や多種多様な logic があるのが当然で、その中から唯一正統とされる logic を探し出したり擁護したりすることは、actuality を欠いていると、個人的には感じられる。そのような状況において、あからさまに‘Universal Logic’と銘打った本を見せられると、個人的には「不毛な試みではないか?」と勘ぐってしまって上記の Brady さんの本は敬遠させていただいていた。
だが、Brady さんの logic が本当に universal であるかどうかは別にして、氏の本の中では興味深いことが行われているようである。
以下に引用するのは、次の論説からの抜粋である。ここに Brady 本の重要性について、わずかばかりだが書かれている。

  • Edwin Mares  “Relevance Logic,” in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Jun 1998/Jan 2006

3. Systems of Relevance Logic
In the work of Anderson and Belnap the central systems of relevance logic were the logic E of relevant entailment and the system R of relevant implication.


On the other hand, there are those relevance logicians who reject both R and E. There are those, like Arnon Avron, who accept logics stronger than R […]. And there are those, like Ross Brady, John Slaney, Steve Giambrone, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall, and others, who have argued for the acceptance of systems weaker than R or E.


Among the points in favour of weaker systems is that, unlike R or E, many of them are decidable. Another feature of some of these weaker logics that makes them attractive is that they can be used to construct a naïve set theory. A naïve set theory is a theory of sets that includes as a theorem the naïve comprehension axiom, viz., for all formulae A(y),

 ∃x∀y(y ∈ x ↔ A(y)).

In set theories based on strong relevant logics, like E and R, as well as in classical set theory, if we add the naïve comprehension axiom, we are able to derive any formula at all. Thus, naïve set theories based on systems such as E and R are said to be “trivial”. Here is an intuitive sketch of the proof of the triviality of a naïve set theory using principles of inference from the logic R. Let p be an arbitrary proposition:

 1.  ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ y → p))           Naïve Comprehension
 2.  ∀y(y ∈ z ↔ (y ∈ y → p))            1, Existential Instantiation
 3.  z ∈ z ↔ (z ∈ z → p)                2, Universal Instantiation
 4.  z ∈ z → (z ∈ z → p)                3, df of ↔ , &-Elimination
 5.  (z ∈ z → (z ∈ z → p)) → (z ∈ z → p)   Axiom of Contraction
 6.  z ∈ z → p                        4,5, Modus Ponens
 7.  (z ∈ z → p)) → z ∈ z               3, df of ↔ , &-Elimination
 8.  z ∈ z                            6,7, Modus Ponens
 9.  p                                6,8, Modus Ponens

Thus we show that any arbitrary proposition is derivable in this naïve set theory. This is the infamous Curry Paradox. The existence of this paradox has led Grishen[sic], Brady, Restall, Priest, and others to abandon the axiom of contraction ( (A → (A → B) ) → (A → B) ). Brady has shown that by removing contraction, plus some other key theses, from R we obtain a logic that can accept naïve comprehension without becoming trivial (Brady 2005).

そして末尾の‘(Brady 2005)’について、Mares さんは文献表において次のように記しておられる。

Brady, R.T. (2005), Universal Logic, Stanford: CSLI, 2005. [A difficult, but extremely important book, which gives details of Brady's semantics and his proofs that naïve set theory and higher order logic based on his weak relevant logic are consistent.]

ここでの‘[ ]’は筆者ではなく、Mares さんのものである。

Brady 本中で Brady さんが主として展開されている logic の propositional logic の部分では、contraction を持たないようにしてあるそうである*1

正直に言って、ある logic が何らかのいみで universal であるかどうかには、興味が持てない私だけれども、上で記したような特徴を持つ logic には心魅かれてしまうものがある。そのような訳で、Brady 本を入手した。
最後に。Brady 先生、何も知らない身でありながら、生意気申しまして済みません。勉強させていただきます。

*1:Brady, p. 46.