Brouwer and Nietzsche Are Birds of a Feather.

定期購読している journal, History and Philosophy of Logic が先週届き、そこに次のようなちょっと変わった論文が掲載されていることに言及しました。

  • Miriam Franchella  ''Brouwer and Nietzsche: Views about Life, Views about Logic,'' in: History and Philosophy of Logic, vol, 36, no. 4, 2015

この論文冒頭にある abstract を記しておくと以下の通りです。

Friedrich Nietzsche and Luitzen Egbertus Jan Brouwer had strong personalities and freely expressed unconventional opinions. In particular, they dared to challenge the traditional view that considered Aristotelian logic as being absolute and intrinsic to man. Although they formed this opinion in different ways and in different contexts (Nietzsche was born in Saxony and lived in the second half of the nineteenth century, beginning his career as a classical philologist before turning to philosophy; Brouwer was a Dutch mathematician who lived from 1881 to 1966), they both based it on a view of life that considered it as a struggle for power in which logic was a weapon. Therefore, it is interesting to carry out an in-depth analysis on the origins, the core of their opinions concerning logic and the consequences. As a matter of fact, a detailed analysis and a comparison of their contributions to the philosophy of logic have not yet been carried out. In this paper, I intend to present the results of my research on this subject performed by taking into account the studies conducted by E. Steinhart, O. Schutte and S.D. Hales.

Brouwer と Nietzsche という不思議な取り合わせなので、好奇心を刺激された方もおられたかもしれません。そこで今日はこの論文の結論に相当する部分を引用し、私訳/試訳を付けてみたいと思います。このような結論部分をお読みになれば、著者の先生が何を言いたく思っており、どんな雰囲気の論文なのかが大体推測できるだろうと思います。

なお、読みやすくするため意訳して訳します。また、訳者の方で説明を補って、くどく訳します。ただし、訳者は Brouwer にも Nietzsche にも無知です。誤解して誤訳しているかもしれません。読みにくい不自然な訳になっているかもしれません。どんどん訳して行って、後から一度だけ見直し訂正を入れただけですので、誤訳、悪訳が多数含まれていると思います。ですので、すべてきっちり正しく訳されているとは思わないでください。和訳はあくまで参考程度でお願い致します。前もって間違いに対しお詫び申し上げます。

引用文を掲げる前にあと三つ記しますが、私は上記の論文をまだ全部は読んでいません。論文著者 Franchella 先生の註は省いて訳します。そして以下の和訳に際し、同じ英単語をいつも同じ日本語の単語で訳しているとは限りません。例えば 'logic' という英単語を、文脈に応じて「論理」と訳していることもあれば「論理学」と訳していることもあります。予めご了承ください。

7. A final comparison

 We have seen that in Brouwer and Nietzsche, there is a path that leads directly from the vision of life to their opinions on science, mathematics and logic.
 Nietzsche and Brouwer partly agree about science. For both, it consists in projecting the pattern of causality onto the world. Brouwer sees it as a sinful exercise of the will of man over nature, which triggers a series of research studies joined by causal links. Man may even forget the initial goal and may produce an opposite effect to that originally intended. Nietzsche does not consider it as sinful; nevertheless, he judges science negatively, because it goes against life in its creativity and effervescence. Science is part of the tools that man has invented in order to feel reassured in the universe of perceptions and change. Such tools are used for framing and categorizing in order to keep everything under control which is precisely the opposite to what favors the booming of the vital, the individual, the unique, the special.
 As for mathematics, Brouwer distinguishes it from science and he therefore only 'saves' it on condition that he redefines the boundaries of a constructivist mathematics, which is not aimed at being applicative. It must be carried out as an expansion of the intuition of time: therefore, mathematics is creative and free from preconceived methods. Therefore, it is also free from logic. This is not applied in mathematics, but opposingly, it comes after mathematics as an extrapolation of the regularities that can only be found in retrospect in the expression of mathematics. Mathematics, in itself, is a-linguistic (because language, according to Brouwer, is only used to communicate). Nietzsche shares the meaning and appreciation of creativity with Brouwer but he includes mathematics in the same field of science and logic; he considers it as something schematic and repetitive, based on the forced distinction between subject and object: for him, the ego is the source reference, the prototype for the production of units for the calculation.
 Nietzsche and Brouwer reject the view of a unique logic intrinsic to man and both consider logic as a human product. According to Brouwer, logic is not a list of correct reasoning-patterns applied when proving new theorems: logic comes after mathematics, as a kind of statistics in its accompanying language. Therefore, it is conditioned by culture and, consequently, by ethnicity just like any other discipline that refers to language. Furthermore, its set of laws cannot remain the same because logic must express a mental content, that is, an evidence of mind. Even negation must express some evidence: the evidence of the fact that the construction of a proof fails. Therefore, the principle of the excluded third is to affirm the holding of the resolution of all mathematical problems and it therefore becomes and remains unreliable as long as an open mathematical problem still exists. In fact, despite his lack of interest in logic, Brouwer had obtained a new logic as a 'side effect' of a program for a new foundation of mathematics. The details of such intuitionistic logic would later be developed by his student Arend Heyting. In any case, as far as Brouwer concerned, Arsitotelian logic was not intrinsic to man, it was not something that man has in his own frame of mind: it could be replaced by another logic.
 For Nietzsche - who referred to an Aristotelian framework - logic serves identify, to draw boundaries, to stabilize, while we experience a continuous flow of perceptions. Logic is a product of human evolution, finalized at our survival: it is not something absolute, but it is aim-oriented. Even if for Brouwer, there may have only been truth in logic when it describes a mathematical reality, for Nietzsche, there can never be truth in logic. Still, it was not only negativity that Nietzsche attributed to logic: he appreciated the use of logic to argue and persuade, and complained of the poor exercise of deduction in German schools and universities. He simply wanted to determine the limits of logic exactly, in order to stress that it does not have an absolute value. The two sides of the human, the rational and the irrational (the two brains, as Nietzsche called them) - coexist and should be made to interact without penalizing either. The rational side smooths, allowing for survival. The irrational side innovates, creates, leaves out the strong emotions, the uniqueness, the individuality of each person.
 With an eye to the twenty-first century, we point out that logic is a tool: it offers its laws to treat the concept of identity, but it does not require the real existence of identical objects. Logic could even exist as a mere intellectual exercise. Furthermore, identity can also be fictitious. It is not necessary that it be 'true' (i.e. non-perspective). However, this is a typical viewpoint of the twenty-first century: this awareness was only reached a hundred years after Nietzsche. Such awareness was obtained by ignoring Nietzsche's contribution, perhaps because in the nineteenth century logic had moved from a philosophical framework toward a mathematical framework. On the contrary, Brouwer directly contributed to such awareness, by providing a new logic that differed from traditional logic. Other non-classical logics were later introduced (modal, fuzzy, quantum logic for example), welcoming the (Nietzschean) opinion that logic is a human product, driven by certain needs and aimed at very specific purposes in well-defined areas, providing a broader outlook of the existence of a pluralistic range of logics.*1

7. 最終比較

 我々は、Brouwer と Nietzsche において、人生観から科学、数学、論理学についての彼らの見解へと直接至る道があることを見た。
 Nietzsche と Brouwer は科学に関し部分的に意見が一致している。両者にとって科学とは、因果のパターンを世界に投影することにある。Brouwer は科学を人間の意志が自然に対してなす罰当たりな行為であると見なしており、この行為により因果関係でつながった研究が次々と引き起こされるのである。人は当初の目的を忘れさえするかもしれず、元々意図していたものとは反対の結果を生み出してしまうかもしれないのである。Nietzsche は科学を罰当たりとは見なさない。にもかかわらず、彼は科学を否定的に評価している。生命は創造的で、沸き立つような高まりを持っているのに、科学はその生に反しているからである。科学は人間が考え出した道具の一つであり、知覚が乱舞し変化の絶えない宇宙のなかで安心を得るためにあるのである。そのような道具は、ものごとを枠づけ分類することに使われるのだが、それというのもすべてを管理下に置き続けたいがためであり、だがこのようなことは、生きたもの、個性的なのもの、かけがえのないもの、特別なものの急速な成長に好意的であることとはちょうど正反対なのである。
 数学に関しては、Brouwer はそれを科学と区別し、それ故、ある条件下でのみ「救い出す」。その条件とは構成主義数学の範囲を再定義することであり、ただ、この再定義は実用をねらったものではない。数学は時間直観の拡張として実行されねばならない*2。故に数学は創造的なのであり既存の方法から自由なのである。従って、数学は論理からも自由なのである。この論理は数学において適用されるものではなく、むしろその反対に、数学の後から来るのであって、数学の表現を振り返ることで初めて見出すことのできる規則性を推定した結果なのである。数学それ自身は言語的なものではない (なぜなら、Brouwer によると、言語は意思疎通のために使われるだけだからである*3 )。Nietzsche は Brouwer と創造性の意味およびその大切さについて意見を共有しているが、Nietzsche は数学を、科学および論理学と同類のものに含めている。彼は数学を図式的もの、反復的なものと見ており*4、これは主体と客体を無理やり区別することに基付いている。彼にとり、自我が起点となる参照点であり、計算に際し諸単位を生み出す原型なのである*5
 Nietzsche と Brouwer は論理が人間に本来備わる固有のものであるという見解を拒否し、それを人間による産物であると見なす。Brouwer によると、論理は新しい定理を証明する際に使用される正しい推論パターンのリストなのではない。論理学は数学の後から来るのであり、数学に伴う言語に対する一種の統計学なのである。それ故、数学は文化に条件付けられており、その結果、言語に言及する他の何らかの学問とちょうど同じように民族性に条件付けられているのである。さらに論理法則の集合は同じままではあり得ない。論理は心的内容を表現しなければならないからである。つまり心のなかの証拠となる形跡を表現せねばならないのである。何かがないとするような否定判断でさえ、何か証拠となる痕跡があることを表わさねばならない。例えば、ある証明の構成がうまくいかないということの証拠を示さねばならないのである。それ故、排中律は、すべての数学的問題の解決が成ることを肯定しているのであり、従って、数学の未解決問題がいまだに存在するかぎり、信用されることにはならないし、現に信用されてもいないのである。今、論理について述べたが、実際のところ、Brouwer は、論理に対し興味を持っておらず、にもかかわらず数学の新しい基礎付けのための計画を実行した「副産物」として、新しい論理を獲得していたのだった。そのような新しい論理である直観主義論理の詳細は、彼の学生である Arend Heyting によって後に展開されるであろう。いずれにせよ、Brouwer に関するかぎり、Aristotle 流の論理*6は人間に本来備わっているものではなかったのであり、自身の心の枠組みとして、人が有するものではなかったのである。何なら Aristotle 流の論理を他の論理に取り代えることもできるであろう。
 Nietzsche にとって、- 彼は Aristotle 流の枠組みに言及していたが - 論理は物事を同定するのに役に立ち、境界線を引き、事を安定化させるのに役立つが、その一方で我々は知覚の絶え間ない流れに身をさらしているとされている。論理は人間進化の産物であり、最終的に我々が生き残るという結果をもたらした。それは何か絶対的に隔絶したものではなく、何らかの目的を持っているものなのである。Brouwer にとってさえ、論理が数学的現実を記述している時には、論理においてかろうじて真理があったかもしれないが、Nietzsche にとっては、論理に真理など決してあり得ないのである。だが、Nietzsche は論理を否定的に見ているだけではない。何事かを主張し、誰かを説得するために論理を使用することを彼は評価していたのであり、ドイツの高校や大学でなされている貧弱な演繹法の練習に不服を申し立てていたのである。論理は絶対的な価値など持っていないということを強調するため、彼は論理の限界を正確に見定めたかっただけだった。人間の二つの側面、すなわち理性的なものと非理性的なもの (Nietzsche が呼んでいた言葉では、二つの頭脳) は人間において共存しており、どちらも責め合うことなく相互に作用させるべきなのである。理性的側面は生存を図るべく、つつがなく働くものであり、非理性的側面は革新を生み創造性を発揮し、激しい感情と個人の独特さ、各人の個性を残しておくものなのである。
 21世紀に目を転ずるならば、論理学は道具であると指摘されている。それは同一性の概念を扱うために論理法則を提供しているのだが、同一の対象が実際に存在することを要求しはしない。論理学は単なる知的練習問題としてさえ存在し得るだろう。さらに、同一性は虚構的でもあり得るのであり、それが「真」である (つまりあらゆるパースペクティブ/視点を越えている) 必要はない。しかし、視点を越えていながらも、これは21世紀に典型的な視点である。このことを自覚したのは Nietzsche 以降、100年経ってようやくのことであった*7。このことの自覚が得られたのは Nietzsche の貢献を無視することによってであった。おそらく、19世紀において論理学は哲学的枠組みから数学的枠組みへと移っていたからであろう。それに反して、Brouwer は伝統的論理学からは区別される新しい論理学を与えることにより、先の自覚に直接貢献した。この後、他の非古典論理学が導入されたのであり (例えば様相論理、ファジー論理、量子論理), これら非古典論理は Nietzsche 的な見解、すなわち論理は人間の産物であり、特定の必要性によって駆使され、範囲のはっきりとした分野で非常に具体的な目的を目指して利用されるものなのだという見解を歓迎し、またこれらの非古典論理は、諸論理が多元的に広がって存在しているより広大な眺望を与えてくれてもいるのである。

以上です。この論文著者の Franchella 先生の試みが成功しているのか否か、Brouwer にも Nietzsche にも無知である私には判断が付きません。Franchella 先生の試みは野心的な試みとも言えますし、事によれば無謀な試みとも映るかもしれません。成功しているかどうか、判断を今下すのは、おそらく時期尚早だろうと推察致します。というのも、上記の論文だけで先生の試みが成功しているか否かを判断するよりも、今後先生がこの試みをどこまで深化できるのかを見てみる必要があると思いますし、また先生のこの試みに刺激を受けて、他の、特に若い研究者が同じように Brouwer と Nietzsche との比較に取り組み出し、何か面白く重要な結果を次々と引き出すかもしれませんので、将来の結果を静かに待つことが大切かもしれません。あるいは自分で Brouwer と Nietzsche との比較に取り組み、何が出てくるのかを自ら確認してみるのがよいのかもしれません。そのあとで、先生の試みを判断するのが得策と思われます。とはいえ、私自身はとてもではないですが取り組むことができませんが。能力的にも時間的にも無理ですから…。

最後に、誤訳、悪訳、誤解、無理解、勘違い、誤字、脱字等に対し、お詫び申し上げます。その場合は、せっかく紹介差し上げたのに Franchella 先生にもお詫び致します。おやすみなさい。

*1:Franchella, ''Brouwer and Nietzsche,'' pp. 388-389.

*2:訳註: この文の原文は 'It must be carried out as an expansion of the intuition of time' であり、主語は数学のことだと解したのですが、私は Brouwer にも Kant にも無知なので、間違っているかもしれません。そのようでしたらすみません。

*3:訳註: どうやら Brouwer によると、言語は意思疎通に使われる社会的公共的なものであり、一個人の心のなかの感覚を越えたものであるのに対し、数学は本来的には一個人の心における内的な体験に根差しており、それ故、社会的な言語と個人的な数学的心的体験は、いわばぴったりとは一致しないようです。要するに両者は別物のようです。故に数学は通常言語で表わされるが、数学それ自体は本質的には言語と関係がない、とされているみたいです。このあたりのことは簡単には次を参照ください。金子洋之、『ダメットにたどりつくまで 反実在論とはなにか』、双書 エニグマ 10, 勁草書房、2006年、40-49ページ、特に44-47ページ。詳しくは次をご覧ください。金子洋之、「ブラウワーにおける言語と数学」、 『科学哲学』、vol. 34, no. 1, 2001. 特にその30ページまでを参照。

*4:訳註: 数学を図式的なものと見るとは、それを形式的なものと見る、ということなのかもしれません。また数学を反復的なものと見るとは、例えば自然数を数1の反復的な加算と見るようなことを言うのかもしれません。各自然数を数1の和として見る古典的な見解は、少なくとも Leibniz に遡るようですが、簡単には Frege の Grundlagen の 第6節をご覧ください。

*5:訳註: 主体と客体を無理やり区別するとはどういうことなのか、自我が参照点であるとか、原型だとか、何のことか、実は私にはよくわからないのですが、とりあえず、このように訳しておきます。Nietzsche の哲学を知らないもので、どうもすみません。以下でも Nietzsche の哲学を知らないまま訳しているところがあります。お許しください。

*6:訳註: 「Aristotle の論理」とせず、「Aristotle 流の論理」としているのは、おそらく Nietzsche と Brouwer が知っていたのは、Aristotle 本人の、元々あった形での論理学ではなく、古代から現代へと伝わってくる過程で変化を遂げた論理学であったと思われますので、そのことを推察できるようにしたためです。英語原文でも 'Aristotle's logic' ではなく 'Arsitotelian logic' となっているのは、そのためかもしれません。

*7:訳註: Nietzsche が亡くなったのは1900年です。