What Is Quasi-Quotation? What Are Quine's Corners?



  • Patrick Suppes  Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, 1957, reissued by Dover Publications in 1999, Chapter 6: Postscript on Use and Mention.


ところで、表現の使用と言及に関し、事柄を正確に記そうとする場合には、多少の取り決め、あるいはそのための特別な記法が必要となってきます。そのような記法の一つに Quine さんの Quasi-Quotation, Quine's Corners があります。これについても復習するために、以下の該当個所を読み直してみました。

  • Willard Van Orman Quine  Mathematical Logic, Revised Edition, Harvard University Press, 1981, pp. 33-37.

さて、今日はその復習した結果をここに記してみたいと思います。具体的に言うと、上記 Quine さんの文献該当個所の原文を引用し、私訳/試訳を付け、その後に、ごくごく簡単な説明を付け足してみようということです。(ただし、間違った説明をしておりましたらすみません。) Quine さんの corners をご存じの方で、しかしうろ覚えの方は、よろしければここで復習してみてください。ご存じでない方は、参考までにご覧いただければ幸いです。


§6. Quasi-Quotation

IN DISCUSSING the modes of statement composition we are having continually to talk of expressions. Quotation suffices for the mention of any specific expression, such as '∨' or '≡' or 'Jones is away', but is not available when we want to speak generally of an unspecified expression of such and such kind. On such occasions use has been made of general locutions such as 'a conditional', 'the first component', etc.; and more difficult cases have been managed indirectly by introducing a blank ' ― ' from time to time. But the developments to follow call for a more elastic method of referring to unspecified expressions.
 For the beginnings of such a method, the use of letters in algebra provides us with an adequate model. In algebra 'x', 'y', etc. are used as names of unspecified numbers; we may suppose them replaced by names of any specific numbers we choose. Analogously, Greek letters other than 'ε', 'ι', 'λ' will now be used as names of unspecified expressions; we may suppose them replaced by names (e.g. quotations) of any specific expressions we choose.
 A discussion of numbers may, for example, begin thus:

 (1)     Let x be a factor of y.

Throughout the discussion thus prefaced, we are to think of x and y as any specific numbers we like which satisfy the condition (1) − say the numbers 5 and 15, or 4 and 32. We are to think of the letters 'x' and 'y' as if they were names of the numbers 5 and 15, or names of the numbers 4 and 32, etc. We are to imagine the letters 'x' and 'y' replaced by the numerals (expressions) '5' and '15', or by '4' and '32', etc.
 Similarly a discussion of expressions might begin thus:

 (2)     Let μ be part of ν.

Throughout the discussion thus prefaced, we are to think of μ and ν as any specific expressions we like which satisfy the condition (2) − say the expressions 'York' and 'New York', or '3' and '32'. We are to think of the letters 'μ' and 'ν' as if they were names of the expressions 'York' and 'New York', or names of the expressions '3' and '32', etc. We are to imagine the letters 'μ' and 'ν' replaced by the quotations ' 'York' ' and ' 'New York' ', or by ' '3' ' and ' '32' ', etc.
 The reader is urged to compare the above short paragraph with the preceding one, word by word; also to review §4. Roughly speaking, the letters 'x', 'y', etc. may be described as ambiguous numerals, ambiguous names of numbers, variables ambiguously designating numbers, or, in the usual technical phrase, variables taking numbers as their values. Correspondingly the letters 'μ', 'ν', etc. may be roughly described as ambiguous quotations, ambiguous names of expressions, variables ambiguously designating expressions, or variables taking expressions as their values. This does not mean simply that 'μ' and 'ν' take the place of expressions, or are replaceable by expressions, for this is true of 'x' and 'y' as well. Rather, the letters 'μ' and 'ν' take the place of quotations or other names of expressions, just as 'x' and 'y' take the place of numerals or other names of numbers.
 Occasionally Greek letters will be used with accents or subscripts attached: ' μ’ ', ' μ’’ ', 'μ_{\rm {\tiny 1}', 'μ_{\rm {\tiny 2}', 'μ_{\rm {\tiny n}', etc. Such variants may be regarded simply as so many further Greek letters. Three Greek letters, 'φ', 'ψ', and 'χ', together with their accented and subscripted variants, will be limited in their use to those cases where the expression designated is intended to be a statement. They serve as names of unspecified statements, and are replaceable by statement quotations or other names of specific statements.
 There is need also of a convenient way of speaking of specific contexts of unspecified expressions: speaking, e.g., of the result of enclosing the unspecified expression μ in parentheses, or the result of joining the unspecified statements φ and ψ in that order by the sign '≡'. Note that quotation is not available here. The quotations:

     '(μ)',     'φ ≡ ψ'

designate only the specific expressions therein depicted, containing the specific Greek letters 'μ', 'φ', and 'ψ'. Reference to the intended contexts of the unspecified expressions μ, φ, and ψ will be accomplished by a new notation of corners, thus:

 (3)     {\tiny \lceil}(μ){\tiny \rceil},     {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil}*1.

 Because of the close relationship which it bears to quotation, this device may be called quasi-quotation. It amounts to quoting the constant contextual backgrounds, '( )' and ' ≡ ', and imagining the unspecified expressions μ, φ, and ψ written in the blanks. If in particular we take the expression 'Jones' as μ, 'Jones is away' as φ, and 'Smith is ill' as ψ, then {\tiny \lceil}(μ){\tiny \rceil} is '(Jones)' and {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} is 'Jones is away ≡ Smith is ill'.
 The quasi-quotations (3) are synonymous with the following verbal descriptions:

 The result of writing '(' and then μ and then ')',
 The result of writing φ and then '≡' and then ψ;

or, equivalently:

 The result of putting μ in the blank of '( )',
 The result of putting φ and ψ in the respective blanks of ' ≡ ';

or, equivalently:

 The result of putting μ for 'μ' in '(μ)',
 The result of putting φ for 'φ' and ψ for 'ψ' in 'φ ≡ ψ'.

We may translate any quasi-quotation:

     {\tiny \lceil}{\tiny \rceil}

into words in corresponding fashion:

 The result of putting μ for 'μ', ν for 'ν', ... , φ for 'φ', ψ for 'ψ', ... in ' ― '.

Described in another way: a quasi-quotation designates that (unspecified) expression which is obtained from the contents of the corners by replacing the Greek letters (other than 'ε', 'ι', 'λ') by the (unspecified) expressions which they designate.
 When a Greek letter stands alone in corners, quasi-quotation is vacuous: {\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} is μ. For, by the foregoing general description, {\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} is the result of putting μ for 'μ' in 'μ'; {\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} is what the letter 'μ' becomes when that letter itself is replaced by the (unspecified) expression μ; in other words, {\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} is simply that expression μ.
 Quasi-quotation would have been convenient at earlier points, but was withheld for fear of obscuring fundamentals with excess machinery. Now, however, it may be a useful exercise to recapitulate some sample points from §§ 1-5 in terms of this device. A conjunction {\tiny \lceil}φ . ψ{\tiny \rceil} is true just in case φ and ψ are both true, and an alternation {\tiny \lceil}φ ∨ ψ{\tiny \rceil} is false just in case φ and ψ are both false. A conditional {\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} is true if φ is false or ψ true, and false if φ is true and ψ false. A biconditional {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} is true just in case φ and ψ are alike in truth value. A denial {\tiny \lceil}〜φ{\tiny \rceil} is true just in case φ is false. φ logically implies ψ or is logically equivalent to ψ according as {\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} or {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} is logically true, and φ materially implies ψ or is materially equivalent to ψ according as {\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} or {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} is true.

§6 準引用

言明構成の方法を議論しているうちに、私たちは段々と表現について語らねばならなくなってきている。'∨' または '≡' または「ジョーンズは不在である」のような、どのような特定の表現に言及するのにも、引用するので十分だが、しかじかの種類の不特定の表現について一般的に話したいときには、引用は利用できない。そのような場合には、「条件文」、「最初の構成要素」などのような一般的な言い回しが使われている。もっと難しいケースでは、時折空白「 ― 」を導入することで、間接的に何とか処理されてきた。しかしこの後の展開では、不特定の表現に言及するもっと柔軟な方法が求められる。
 そのような方法を与える最初の取りかかりとしては、代数での文字の使われ方が、私たちに適切なモデルを与えてくれる。代数では、'x', 'y' などは、不特定の数の名前として使われている。つまり、それらの文字は、私たちが選ぶ、何らかの特定の数の名前によって置き換えられる、と私たちは想定するだろう。類似の言い方をすれば、'ε', 'ι', 'λ' 以外のギリシア文字は、これから後は、不特定の表現の名前として使われる。つまり、それらの文字は、私たちが選ぶ、何らかの特定の表現の名前 (例としては引用表現) によって取り換えられる、と私たちは想定するだろう。

 (1)     x を y の因数としよう。

このように始まると、その議論を通じて、私たちは x と y を、条件 (1) が満たされるような、任意の特定の好きな数と見なす。たとえば、数 5 と 15, または 4 と 32 である。私たちは文字 'x' と 'y' を、数 5 と 15 の名前、または数 4 と 32 の名前などなどであるかのように見なす。私たちは文字 'x' と 'y' が数字 (表現) '5' と '15', または '4' と '32' などによって置き換えられるのを想像する。

 (2)     μ を ν の部分としよう。

このように始まると、その議論を通じて、私たちは μ と ν を、条件 (2) が満たされるような、任意の特定の好きな表現と見なす。たとえば、表現 'York' と 'New York', または '3' と '32' である。私たちは文字 'μ' と 'ν' を、表現 'York' と 'New York' の名前、または表現 '3' と '32' の名前などなどであるかのように見なす。私たちは文字 'μ' と 'ν' が引用表現 ' 'York' ' と ' 'New York' ', または ' '3' ' と ' '32' ' などによって置き換えられるのを想像する。
 読者には、すぐ前の短い段落と、その前の段落とを、一語一語比較してほしい。それに§4も読み直してほしい。大まかに言うと、文字 'x', 'y' などは多義的な数字、数に対する多義的な名前、数を多義的に指す変項、あるいは通常の専門的な語句を使えば、数をその値として取る変項として記されているとしてよい。これに対応するように、文字 'μ', 'ν' などは多義的な引用表現、表現に対する多義的な名前、表現を多義的に指す変項、あるいは表現をその値として取る変項として大まかに記されているとしてよい。このことは、'μ' と 'ν' が表現の代わりをしているとか、それらを表現によって置き換えることができるということを単にいみするだけではない。というのも、そのことは 'x' と 'y' に対しても当てはまるからである。むしろ、文字 'μ' と 'ν' は、'x' と 'y' が数字の代わりをしたり、数に対するその他の名前の代わりをするのとちょうど同じように、引用表現の代わりをしたり、表現に対するその他の名前の代わりをしているのである。
 これから時折ギリシア文字は、アクセント記号または下添え記号を付けて使用される。' μ’ ', ' μ’’ ', 'μ_{\rm {\tiny 1}', 'μ_{\rm {\tiny 2}', 'μ_{\rm {\tiny n}' などのようにである。このような変種は、単にそれだけさらに多くのギリシア文字があると見なされてよいということである。三つのギリシア文字 'φ', 'ψ' と 'χ' は、アクセント記号と下添え記号の付いた変種とともに、指されている表現が言明であることを意図している場合に使用が限定される。それらは、不特定の言明の名前である役目を持ち、言明の引用表現または特定の言明のその他の名前によって置き換えられる。
 不特定の表現を含んだ特定の文脈について話す簡便な方法もまた必要である。たとえば、不特定の表現 μ を丸カッコで囲んだ結果について話すこと、あるいは不特定の言明 φ と ψ をこの順番で記号 '≡' により結び付けた結果について話すことである。ここでは引用は使えないことに注意されたい。引用表現

     '(μ)',     'φ ≡ ψ'

は、引用符内に描かれている、特定のギリシア文字 'μ', 'φ' と 'ψ' を含んだ特定の表現だけを指している。不特定の表現 μ, φ と ψ を持つ意図された文脈への言及は、かどカッコ*2という新たな記法によって達成されるだろう。それはこのようにである。

 (3)     {\tiny \lceil}(μ){\tiny \rceil},     {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil}.

 このカッコが引用に対して持つ密接な関係により、この記法は準引用と呼ばれてよいだろう。それは定常的な文脈的背景である '( )' と ' ≡ ' を引用しながら、かつ空白内に書かれた不特定の表現 μ, φ と ψ を想像することに相当する。とりわけ、もしも μ として表現「ジョーンズ」を、φ として「ジョーンズは不在である」を、ψ として「スミスは病気である」を解するならば、その時、{\tiny \lceil}(μ){\tiny \rceil} は「(ジョーンズ)」であり、{\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} は「ジョーンズは不在である ≡ スミスは病気である」である。
 準引用表現 (3) は、言葉で言い直した以下の記述と同義である。

 '(' を書き、それから μ を書き、それから ')' を書いた結果、
 φ を書き、それから '≡' を書き、それから ψ を書いた結果、


 '( )' の空白に μ を置いた結果、
 ' ≡ ' のそれぞれの空白に φ と ψ を置いた結果、


 '(μ)' における 'μ' の代わりに μ を置いた結果、
 'φ ≡ ψ' における 'φ' の代わりに φ を置き、'ψ' の代わりに ψ を置いた結果。


     {\tiny \lceil}{\tiny \rceil}


 ' ― ' における 'μ' の代わりに μ を置き、'ν' の代わりに ν を置き、, ... , 'φ' の代わりに φ を置き、'ψ' の代わりに ψ を置き、... を置いた結果。

別の仕方で記されるなら、こうである。準引用表現は、かどカッコの内容から得られる (不特定の) 表現を指している。そのかどカッコの内容とは、('ε', 'ι', 'λ' 以外の) ギリシア文字を、その文字が指している (不特定の) 表現で置き換えた結果である。
 ギリシア文字が、かどカッコ内において単独で出ているときは、準引用は空回りしている。つまり、{\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} は μ である。というのは、前に行った一般的な記述により、{\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} は、'μ' における 'μ' の代わりに μ を置いた結果だからである。{\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} とは、文字 'μ' が置き換えられてできるものなのだが、それはその文字自身が (不特定の) 表現 μ によって置き換えられるときに、できるもののことである。言い換えれば、{\tiny \lceil}μ{\tiny \rceil} とは単にその表現 μ のことである。
 本書のもっと前の時点で準引用を使えば便利であったかも知れないが、過度の技法で基本事項が不鮮明になるのを恐れ、それを使うのは差し控えた。しかし今やこの記法により、いくつか見本となる大切な点を§§ 1-5 から要約することが有用な練習となるだろう。連言 {\tiny \lceil}φ . ψ{\tiny \rceil} が真なのは、φ と ψ がともに真である場合、かつその場合に限るのであり、選言 {\tiny \lceil}φ ∨ ψ{\tiny \rceil} が偽であるのは、φ と ψ がともに偽である場合、かつその場合に限る。条件文 {\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} が真であるのは、φ が偽であるか、または ψ が真である場合であり、条件文が偽であるのは、φ が真であり、かつ ψ が偽である場合である。双条件文 {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} が真であるのは、φ と ψ が真理値に関して同様である場合であり、かつその場合に限る。否定 {\tiny \lceil}〜φ{\tiny \rceil} が真であるのは、φ が偽である場合、かつその場合に限る。φ が ψ を論理的に含意する、または φ が ψ と論理的に同値であるのは、{\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} または {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} が論理的に真であることによるのであり、φ が ψ を実質的に含意する、または φ が ψ と実質的に同値であるのは、{\tiny \lceil}φ ⊃ ψ{\tiny \rceil} または {\tiny \lceil}φ ≡ ψ{\tiny \rceil} が真であることによるのである。

以上の Quine さんの明瞭な文章で、話の内容はもう十分につかめたかと思いますが、Quine さんの corners がなぜ必要で、どのようなものなのかを、一応、再度簡単に point だけ記しておくことに致します。


  (1)  「(a + b)^{\rm {\tiny 2}} = a^{\rm {\tiny 2}} + 2ab + b^{\rm {\tiny 2}}」は恒等式の一つであり、この式は a と b がどんな数を表わすとしても成り立つ。

などのようにです。私たちはこの恒等式に関する文を読んだとき、その文の引用符内の 'a', 'b' が 1 や 2 や 3 などの自然数をいみするものと解し、これらすべての自然数について、(1) は一般的に述べているのだ、と捉えます。

しかし、引用符の機能は基本的に引用符内の表現を、かつそれだけを引用することにあります*3。そうだとすると (1) の引用符内で引用されているのは、丸カッコ開く '(' と、英語のアルファベットの第一番目の文字の小文字 'a' と、十字型をした印 '+' と、..., 英語のアルファベット第二番目の文字の小文字 'b' と、アラビア数字の '2' の小さい形のものであり、かつそれだけです。この引用符内で引用されている 'a' はただこれだけのものであり、この 'a' がいみしている何らかのものも合わせて引用しているというのではありません。'a' なら 'a' だけです。引用符である表現をくくると、その引用符が引用しているのは、そのくくられた特定の、個別の表現だけであり、それ以外の、それ以上の何かを一般的に引用しているのではありません。たとえば、

  (2)  「太郎から100万円をだまし取った」と、次郎が告白するのを聞いたことがある。

という文を見たとき、ここで引用されているのは「太郎から100万円をだまし取った」という文であって、これ以上でも以外でもありません。この引用文を「花子から100万円をだまし取った」とか、「太郎から1000万円をだまし取った」とかいうように、勝手に引用文を書き換えて理解されては困ります。(2) において、引用符号として利用されている鉤カッコは、ちょうどそこで引用されている表現を、かつそれだけを引用しているのであって、読者の一存で勝手に被引用表現を改変しては引用しているいみがなくなります。

ですから (1) における引用符は、特定の個別の表現だけを本当は引用しているのにとどまります。厳密には一般性は表わしません。そこに一般性を見るとしても、それは単に機転をきかせて読む側で臨機応変に判断し、文脈に合わせて一般性を読み込んでいるだけだ、ということです。

しかし、通常は (1) を見たときに、読む側で一般性を読み込んでも構いません。実際にはそれが望まれています。ただし、引用符で表現をくくったとき、ある場合にはそこに個別特定の表現だけを見て、またある場合にはそこに表現の一般性を見るというように、引用符の機能に多義性を許しておくことは、時に望ましくありません。人により時により、個別化の機能を読み込むこともあれば、一般化の機能を読み込むこともある、ということでは、引用符を使っては、正確な話ができなくなる可能性があります。

そこで普通の引用符には、くくった表現を、かつそれだけを引用する機能を持たせ、特殊な引用符には、くくった表現の一部だけを引用し、他の一部は引用しないという機能を持たせることで、この特殊な引用符号により、表現を一般的に引用することを可能にするのが Quine さんの corners, かくカッコです。

このかくカッコによれば、'μ' が「太郎」、「次郎」、「花子」を指すとし、かつそれらのみを指すとすると、(あるいは厳密には、 'μ' が表現「太郎」、「次郎」、「花子」を、かつこれらのみを値として取る変項だとすると)

  (3)  {\tiny \lceil} μ は不在である {\tiny \rceil}


  (4)  「太郎は不在である」、「次郎は不在である」、「花子は不在である」

という三つの文だ、ということになります。逆に言うと、(4) の三つの文を述べるのは面倒なので、たった一つの文で述べて済ましてしまった結果が (3) だ、ということです。


  (5)  {\tiny \lceil} μ {\tiny \rceil}


  (6)  「太郎」、「次郎」、「花子」

の三つの名前だ、ということになります。これも逆に言うと、(6) の三つの名前を述べるのは面倒なので、たった一つの名前を述べて済ましてしまった結果が (5) だ、ということです。

こうして、かくカッコで先ほどの (1) を正確に書き直せば、'μ', 'ν' が自然数の名前を指すとすると、(あるいは厳密にはそれらギリシア文字が自然数の名前をその値として取る変項だとすると)

  (7)  {\tiny \lceil}(μ + ν)^{\rm {\tiny 2}} = μ^{\rm {\tiny 2}} + 2μν + ν^{\rm {\tiny 2}}{\tiny \rceil}恒等式の一つであり、この式は 'μ' と 'ν' がどんな数字を表わすとしても成り立つ。

となります。もちろん恒等式を説明する数学の入門的な話において、わざわざ Quine さんの corners を持ち出していちいち厳密性を追求することは、ちょっとやりすぎだと思います。そのような場面で、かくカッコを持ち出す必要はありません。ただし、哲学や論理学の細かい話をきちんとする場合には、時に必要となってくる記法だと考えられます。


*1:引用者註。この 'corners' と呼ばれるカッコは、本当はそのカッコの縦線がもっと短いのですが、便宜上、この足長のカッコで代用しておきます。以下同様です。

*2:訳者註。'corners' に対する定訳は、たぶんないように思われますので、ここでは暫定的に「かどカッコ」と訳しておきました。Corners は引用しようとしている表現の左上のかどと右上のかどに配するものだからです。なお、「かどカッコ」を「角カッコ」と記すと、後者は「かくかっこ」と読まれてしまい、そのカッコを「[ ]」のことと解されてしまいますので、漢字ではなくひらがなで「かどカッコ」と訳しておいた次第です。あまりうまくない訳でしたらすみません。