It was Frege who was the first to realize the importance of the membership as a binary relation on the universe in set theory.

本日入手した以下の文献のappendix “Notes Towards a History [of Non-Well-Founded Sets]”を読んでいると、

  • Peter Aczel  Non-Well-Founded Sets, the Center for the Study of Language and Information, Center for the Study of Language and Information Lecture Notes, 1988

Domainに集合を取っているような場合、ある集合がある集合に所属するというような成員関係(membership relation)について、最初に真剣な考察を展開したのは当然ながらCantorだと思っていた。あるいは、成員関係を表す記号として現在通常使われているε記号を考え出したPeanoが、その関係について最初に本気で考察したのだろうと、何となく想像されもするのだが、しかしAczelさんによると実はそうではなく、それについて最初に真剣な注意を払ったのはFregeだと言う。これは私にとっては意外である。そこでAczelさんの話を以下に引用しておこう。例によって少し長くなる。そこで付されている註は省く。Gothicは引用者による。

From today's perspective it seems surprising that it took so long before mathematicians familiar with set theory developed an interest in the structure of the membership relation. It seems that it was only the jolt of Russell's paradox that initiated such an interest. For Cantor, even the idea of membership as a binary relation on a domain of objects seems to have been distant from his thinking. Consider Cantor's 1895 statement about his concept of set.

By a ‘set’we understand every collection to a whole M of definite, well-differentiated objects m of our intuition or our thought.
(We call these objects the ‘elements’of M)
(Cantor 1895, page 282)

 It is not altogether clear from this statement alone that sets are themselves definite, well-differentiated objects and hence can themselves be elements. But there would seem to be little doubt that Cantor would have agreed that they were, if he had been asked. Nevertheless Cantor appears to have made little use of sets that have sets as elements. This is blatantly not the case for Frege and Russell who based their theory of the natural and transfinite numbers on equivalence classes of sets. For them natural numbers were sets of finite equinumerous sets.
 Frege must have been the first to explicitly envisage a universe of objects, (for him the universe of all objects), including sets (for him the courses-of-values of propositional functions) with a binary membership relation on this universe. But he appears to have paid little attention to the structure of this membership relation. No doubt he was busy with more pressing tasks in completing his two volume work (Frege 1893)*1.

Fregeは詳しく大規模にmembership relationによる集合の理論を展開してはいないようだが、それでも史上最初にその関係について真剣に注目して見せたようである。これが本当だとすると、個人的には意外である。但し、Aczelさんは今引用したappendixは詳細な実証的歴史研究ではないと断っておられるので、本当にFregeが最初なのかどうかはCantorの文献をよくよく読んでみないことにはわからない。まぁしかし、ちょっと意外ではある。でも2008年8月16日の当日記“The First Discoverer of Russell Paradox is neither Russell nor Zermelo. It's Frege. Frege!?”でも記したが、Russell Paradoxの重要性を最初に認知したのが、RussellでもなくZermeloでもなく、Fregeであったとするのならば、確かにmembership relationによる集合関係の考察の重要性を最初に認知したのもFregeだったとしても、それほど不思議ではないかもしれない。なおこの件については、ちょっと今titleは忘れてしまってすぐには思い出せないが、C. Thielさんの文献を調べてみる必要がありそうだ。


*1:Aczel, pp. 103-4.