Russell の propositional function は、Russell の論理学と哲学にとって、鍵となる観念 (notion) であると思われるが、この観念がいつ生まれたのかについて、明らかにしている論文がある。次がそれである。
- Michael Beaney “The Early Life of Russell’s Notion of a Propositional Function,” in: The Baltic International Yearbook of Cognition, Logic and Communication, vol. 4, 2008
Russell の propositional function が、いつ、どのような脈絡から生まれてきたのかについて、この論文の報告を聞いてみることにしよう。
Russell の propositional function が最初に活字となって現れたのは、恐らく The Principles of Mathematics においてだと思われる。この本の Part I に ‘propositional function’ がまず出てくる。そこでこの本の原稿を見てみれば、propositional function の出現に関して何かわかるはずである。さて、この本の原稿は、何回かに渡って書かれているようである*1。その一つに1901年の5月と6月に書かれた Part I の原稿がある*2。ここにおいてはまだ ‘propositional function’ は現れない*3。しかし後に propositional function に該当することとなる表現が出てくる。それを次に引いてみる。
(1)
. . . what Peano and mathematicians generally call one proposition containing a variable is really the disjunction or conjunction (according to circumstances) of a certain class of propositions defined by some constancy of form. . . . “x is an a” stands for the variable conjunction of all true propositions in which terms are said to be a’s; and similar remarks apply to any other proposition containing a variable. (1901 [‘Part I of the Principles, Draft of 1901,’ in G. H. Moore ed., Towards the “Principles of Mathematics” 1900-02, Collected Papers, vol. 3, Routledge, 1993], p. 205)*4
Russell によると、変項を含む一つの命題と Peano たちが呼ぶものは、実際には複数の命題から成る選言なり連言なのだ、ということである。例えば、 ‘x is an a’ は、a であると言われる項 (terms) を持った、真であるすべての命題から成る不定の/可変的な (variable) 連言なのである。つまり、x is an a ⇔ s is an a ∧ t is an a ∧ u is an a ∧ ..., というようなものなのであろう。ここでの ‘x is an a’ が、後に propositional function を表すことになる表現だと Beaney さんは言う*5。即ち、‘x is an a’ が propositional function の原型となる表現なのである。
ところで、Beaney さんによると、Russell においては、 ‘x is an a’ は ‘f(x)’ と書かれ得る*6。この ‘f(x)’ について、Russell は先に引用した文献で、次のように言っている。
(2)
. . . it must always be remembered that the appearance of having one proposition f (x) satisfied by a number of values of x is fallacious: the proposition f (x) is a conjunction of just as many propositions as there are terms in the class of terms such that f (x) is true. (1901, p. 206)
Russell は言う。次のことは片時も忘れてはならない。つまり我々は、x の多くの値によって充足される一つの命題 f(x) を手にしているように見えるが、それは過誤を招きやすい。というのも命題 f(x) は、それを真とするような項の数とちょうど同じだけの諸命題から成る連言だからである。この引用文中において、 ‘x is an a’ を略記した ‘f(x)’ は命題を表す。但し、一つの命題ではなく、複数の命題の連言である。
さて、この引用文 (2) は、若干の修正を加えて The Principles of Mathematics に登場する。それが以下である。
(3)
. . . it must always be remembered that the appearance of having one proposition f (x) satisfied by a number of values of x is fallacious: f (x) is not a proposition at all, but a propositional function. (1903, p. 29)*7
この (3) は、その前の (2) と colon までは、完全に同じである。その後が違っている。即ち、「f(x) は全く命題ではない、命題関数なのである」となって、 ‘f(x)’ が命題から、命題関数へと変わっている。ここにおいて、propositional function は誕生したのである。
では、propositional function の誕生日はいつだろうか？ (1) と (2) が書かれたのは、先にも記したように、1901年の5月と6月である。(3) が含まれているのは The Principles of Mathematics の Part I の Chapter 2 で、Russell は原稿 (1) と (2) とは異なる新たな Part I の原稿執筆計画を1902年の4月の末日に記している*8。この計画書では propositional function には言及されていない*9。つまり、1902年4月30日水曜日の時点では、propositional function についてはまだ何も記されていない。この後、すぐに Part I は書き始められて、5月13日に脱稿している*10。ここで脱稿した原稿が出版されて The Principles of Mathematics の、propositional function が出現している Part I を構成する。ということは、この5月上旬の2週間の間に propositional function は誕生したということである。しかも、propositional function が登場する The Principles of Mathematics の Part I, Chapter 2 の原稿が書かれたのは、Kenneth Blackwell さんの研究によると、5月の3日と4日であることが、ほぼ確実 (almost certainly) だそうである*11。こうして Beaney さんは結論する。
So this makes 3 May the most likely date of birth of Russell’s notion of a propositional function.*12
1902年5月3日土曜日である。
さて、以上が正しいとすると、propositional function が最初に登場するのは The Principles of Mathematics の Part I ということである。この Part I の p. 13 で、それは一番最初に出てくるようである。それでは、p. 13 辺りでは、propositional function について、何が語られているのだろうか？ そこではどのような背景から propositional function は現れてきているのだろうか？ 実際に The Principles of Mathematics の該当箇所を引用して見てみよう*13。Russell によって付された註は省いて引用する。
まず、Russell はこう述べる。
The subject of Symbolic Logic consists of three parts, the calculus of propositions, the calculus of classes and the calculus of relations. Between the first two, there is, within limits, a certain parallelism, which arises as follows: […] *14
この後、命題計算とクラス計算の類似性が具体例をもって説明される。その次に、それでも両者には相違もあることが説明される。そうして以下のように語られる。
The symbolic affinity of the propositional and the class logic is, in fact, something of a snare, and we have to decide which of the two we are to make fundamental. Mr McColl, in an important series of papers, has contended for the view that implication and propositions are more fundamental than inclusion and classes; and in this opinion I agree with him. But he does not appear to me to realize adequately the distinction between genuine propositions [e.g., x is a man implies x is mortal for all values of x (∀x (x is a man → x is mortal)] and such as contain a real variable [e.g., x is a man]: thus he is led to speak of propositions as sometimes true and sometimes false, which of course is impossible with a genuine proposition. As the distinction involved is of very great importance, I shall dwell on it before proceeding further. A proposition, we may say, is anything that is true or that is false. An expression such as “x is a man” is therefore not a proposition, for it is neither true nor false. If we give to x any constant value whatever, the expression becomes a proposition: it is thus as it were a schematic form standing for any one of a whole class of propositions. And when we say “x is a man implies x is a [sic] mortal for all values of x”, we are not asserting a single implication, but a class of implications; we have now a genuine proposition, in which, though the letter x appears, there is no real variable: the variable is absorbed in the same kind of way as the x under the integral sign in a definite integral, so that the result is no longer a function of x. Peano distinguishes a variable which appears in this way as apparent, since the proposition does not depend upon the variable; whereas in “x is a man” there are different propositions for different values of the variable, and the variable is what Peano calls real. I shall speak of propositions exclusively where there is no real variable: where there are one or more real variables, and for all values of the variables the expression involved is a proposition, I shall call the expression a propositional function.*15
ここからわかることは、propositional function は、見かけの変項しか含まれていないような本物の命題 (genuine propositions) と、真の変項が含まれた図式形 (schematic form) とを区別すべきだ、さもないと本物の命題について、それは時に真で時に偽である、というような不合理に陥ってしまうからだ、という話から出てきているということである。つまり、真偽が確定した量化文と真偽が未確定の、複数の個別的な命題を示唆する開放文 (と現在では見なされているもの) とを区別すべし、という話題の中から propositional function は出てきているということである。量化文と量化文まがいのものとを区別すべしという話題を背景として出てきているのである。
ところで上記引用文を見てみると、次のような文があった。
A proposition, we may say, is anything that is true or that is false. An expression such as “x is a man” is therefore not a proposition, for it is neither true nor false. If we give to x any constant value whatever, the expression becomes a proposition: it is thus as it were a schematic form standing for any one of a whole class of propositions.
ここで語られていることは次のことである。つまり「命題とは真であるか偽である何かである。‘x is a man’ という表現は、真でも偽でもないので、命題ではない。しかしこの表現の ‘x’ に何か定まった値を与えてやると、その表現は命題となる。」 ということは、命題とは表現 (expression) の一種である。
また次のような文も上記の引用文中にあった。
[W]here there are one or more real variables, and for all values of the variables the expression involved is a proposition, I shall call the expression a propositional function.
つまり「いくつかの真の変項があり、これらの変項のどの値に対しても、それに関する表現が命題である場合には、その表現を命題関数と呼ぶ」という。ということは、propositional function とは表現 (expression) の一種だということである。
以上からすると、要するに、命題も propositional function もある種の表現だ、ということである。Propositional function が登場してきた1903年の当初 (から)、命題と propositional function は表現の一種だった、ということである。もしもこの通りに、命題も propositional function も単なる表現であり、それに尽きるとするならば、Russell はかなり早くから、あるいは propositional function を生み出したその端緒から、命題と propositional function の唯名論的な解釈を採っていた、ということになるのだろうか？ しかしそもそも The Principles of Mathematics における Russell は、極度に過剰で過大な存在論を有していたのではなかったか？ 命題は言語表現ではなく、言語表現以外の何かとして存在しており、propositional functions もそれは attributes なり properties なり concepts なりを表すか、あるいはそれ自身が attributes / properties / concepts であって、これら attributes / properties / concepts も存在しているとされていたのではなかったか？*16
このことについて、どのように解したらよいのか、私にはよくわからない。なされるべきは、たとえ命題も propositional function もある種の表現だ、と Russell が The Principles of Mathematics で述べていようとも、実質的にそうなのかを The Principles of Mathematics をよく読んで見極めることである。言っていることと、やっていることが違うのは、人の常である。Russell がそう言っていても、そうはやっていない可能性がある。したがって、言っていることは言っていることとして、実質的にやっていることを取り出して確認してみることが必要となるだろう。
追記 (2011年1月16日)
なお、次の本の訳註を拾い読みしていると、
- バートランド・ラッセル 『論理的原子論の哲学』、高村夏輝訳、ちくま学芸文庫、筑摩書房、2007年
proposition, propositional function and variable について、Russell 研究の専門家である高村先生が簡単な comment を残しておられる。それを参考までに引用しておきます。
因みに上記の訳書『論理的原子論の哲学』は、1918年の London にある図書館の一室で行われた、恐らく市民に向けてなされた Russell による連続講演8回のうちの最初の2回の記録みたいです。
以下、高村先生の訳註です。
Proposition について。
「命題 proposition」という語は一種の記号表現、すなわち文のことを意味するものだと本講義 [Russell による Logical Atomism の哲学に関する講義] のしばらく後で [Russell により] 語られているが、しかしラッセルは実にしばしば、文の意味を指すためにこの語を使っている。そこで、ラッセルにとって文の意味としての「命題」とは何かを説明したい。
文とは表現であり […] 文字や音声によって構成される、一連の文字や音声であると言える。一方命題とは、文の意味する内容である。文の意味内容とは何かという問題は言語哲学上の大問題であり、決定的な解答は存在しないが、ラッセルの考えははっきりしている。それは、文の要素となる語が意味している、さまざまなものから構成された複合的なものである。[…] この複合的なものとしての命題は、われわれの心のはたらきとは独立に存在するものであり、文の意味を理解するとは、あたかも事実を知覚するのと同じように、こうした命題を意識することだと考えられた。*17
Propositional Function について。
このように、「命題関数 [propositional function]」も明らかに「表現」として [Russell により] 定義されてはいるのだが、やはり表現そのものではなく、それが指す存在者のことである場合が多い。ではそれはいかなる存在者か、という問題は、『プリンキピア』からこの『論理的原子論の哲学』にかけての時期のラッセル解釈として、最も難しい事柄のひとつである。訳者 [高村] は、判断等の心的はたらきによって構成された命題から、「一部を変項に置き換える」という操作によってさらに構成されたものだと考える。*18
Variable について。
変項 variable もまた、通常は記号として考えられるが、ラッセルの場合は、命題関数と同様に変項記号が意味する何かとして考えられている場合が多い。命題関数が含む不確定な要素であると同時に、論理形式が含むものでもある。その正体は何かということについては、正直、謎というほかない。*19
以上の記述に関しまして、誤解や無理解や、誤字・脱字等がございましたらお許し下さい。
*1:Beaney, p. 9, and p. 21, n. 15.
*2:Beaney, p. 9.
*3:Ibid.
*4:These sentences are quoted from Beaney, p. 9 at second hand.
*5:Beaney, pp. 9-10.
*6:Beaney, p. 10.
*7:These sentences are quoted from Beaney, p. 10 at second hand.
*8:Beaney, p. 10.
*9:Ibid.
*10:Ibid.
*11:Beaney, p. 10 and p. 21, n. 20.
*12:Beaney, p. 10.
*13:Beaney さんも pp. 11-12 で、以下とほぼ同じ部分を引用されている。
*14:Bertrand Russell, Principles of Mathematics, Routledge, Routledge Classics Series, 1903/2010, p. 12.
*15:Russell, pp. 12-13.
*16:Propositional function を唯名論的に解釈すべきか否か、もしも唯名論的に解釈できるとするならば、それはいつの時点の Russell からそうすべきなのか、これらの点については、ごく最近の文献では、例えば次を参照下さい。Gregory Landini, Russell, Routledge, The Routledge Philosophers Series, 2010, pp. 124ff., 伊藤遼、「ラッセルの置き換え理論とその位置づけ」、『哲学論叢』、第37号、京都大学哲学論叢刊行会、2010年、66-67ページ。
*17:バートランド・ラッセル、『論理的原子論の哲学』、高村夏輝訳、ちくま学芸文庫、筑摩書房、2007年、211-12ページの高村先生による訳註 (14)。
