C. I. Lewis' Logic in his A Survey of Symbolic Logic Collapses into Two-Valued Classical Logic

C. I. Lewis

本日の日記は2011年8月8日の日記 ''C. I. Lewis' Logic in his ''Implication and the Algebra of Logic'' Collapses into Two-Valued Classical Logic'' の続きです。前回と同様、目新しい記述はございません。


さて、様相論理を批判した人に Quine さんがいました。彼は様相論理が誤解から生じたものとし、様相命題論理までは許すとしても、様相量化論理は筋が通らないから許されないとして、取り分け様相量化論理を論難しました。そしてこの論難が直接災いした訳ではありませんでしたが、C. I. Lewis さんの最初の様相論理論文において*1、その論文が想定する諸公理から C. I. Lewis さんにとって極めて不都合な定理が出てくることが、前回確認されました。これを受けてか C. I. Lewis さんは、その後、自身の A Survey of Symbolic Logic で、不都合な定理の導出を阻止する手立てを講じました。この結果、Quine さんから有罪を宣告されていたものの、不都合な定理の導出を阻止する策を講じたことで、罪を償うことができたものと思われました。しかし、災いの出現を封印し、罪を償い終えたはずの A Survey of Symbolic Logic から、再び新たな災いが C. I. Lewis さんの身に降りかかります。またしても C. I. Lewis さんは自らの咎に対し、再度罪を償わねばならない事態に見舞われたようです。この事態も前回と同様、次のような標語で簡潔に言い表すことができます。

    • C. I. Lewis' Early Logics Collapse into Two-Valued Classical Logic.

今度は A Survey of Symbolic Logic で C. I. Lewis さんはどのようなひどい目に会ったのでしょうか。前回出現した災いに対しては、それを抑え込む対策は講じたものの、A Survey of Symbolic Logic からまた別の不都合な定理が出てくることがわかりました。今度の定理の方が都合の悪さがよりあからさまで straight であり、完全に破滅的です。前回の不都合な定理の出現よりも、今回の破滅的な定理の出現の方が、一般にはより知られているようです*2。それではその問題の定理が A Survey of Symbolic Logic から、どのように出てくるのか、具体的に見てみましょう。


さて、この定理の証明は二つの version があります。Shorter version と longer version です。どうせですから、二つとも、以下で示してみます。Shorter version は次に出てきます。

  • William Tuthill Parry　　''The Logic of C.I. Lewis,''　in Paul A. Schilpp ed., The Philosophy of C.I. Lewis, Open Court, The Library of Living Philosophers, vol. 13, 1968, p. 130, n. 55.

Longer version は次です。

  • C. I. Lewis　　''Strict Implication - An Emendation,''　in: The Journal of Philosophy, Psychology and Scientific Methods, vol. 17, no. 11, 1920, pp. 300-01.

なお、shorter version にしろ、longer version にしろ、以下では informal に、かつかなりの程度補足を加えつつ論証します。どちらの論証も随分丁寧に説明したため、極めてくどいです。くどくてもよいから詳しい説明が見たいという方は、このまま続けてお読み下さい。一方、くどいのは勘弁してほしい、簡潔な説明で充分だ、という方は、上記の Parry, C. I. Lewis 論文該当箇所を直接参照下さい。加えて、ここで一言明記しておきますと、'shorter version', 'longer version' というのは、上記の Parry 論文と C. I. Lewis 論文で提示されている証明の長さを比べてみた場合、Parry 論文の証明の方が短く、C. I. Lewis 論文の証明の方が長い、といういみです。私がこの後説明する shorter version と longer version の証明の長さは、色々補足を加えたりしたために、ほとんど同じになっています。Shorter とか longer というのは、あくまで Parry 論文と C. I. Lewis 論文での証明の長さに関するものです。


各論証に入る前に、それら論証中に出てくる記号の説明をしておきます*3。

'⊰' は厳密含意 (strict implication) を表します。'p ⊰ q' は、A Survey of Symbolic Logic において、「p であってかつ q でない、ということは不可能である」こととして定義されています。
'~' は不可能性を表す operator です。Primitive なもので、A Survey of Symbolic Logic においては他の言葉では定義されません。'~p' は「p は不可能である」と読まれます。
'−' は通常の否定を表します。
'⊂' は通常の条件法 (material implication) を表します。'p ⊂ q' とあれば、「p ならば q」と読まれます。
'・' は通常の連言記号です。C. I. Lewis さんは A Survey of Symbolic Logic において 'p ・ q' を 'pq' と、代数でやるように連言記号を省略しています。しかしここでは明示して '・' を使います。
'≈' は厳密同値 (strict equivalence) を表します。A Survey of Symbolic Logic では、厳密同値を等号 '=' で表していますが、通常の同一性記号と区別がつきませんので、ここでは '≈' を使用します。厳密同値は A Survey of Symbolic Logic で、次のように定義されています。( p ≈ q ) = ( p ⊰ q ) ・ ( q ⊰ p ).　Def.


そして、式を操作する規則について*4。

代入の規則: 式 p や q や r がある時、それらに任意の式を代入してよい。
推論の規則: p と p ⊰ q があれば、q としてよい。

それでは shorter version から示します*5。


Proof of '~p ≈ −p': Shorter Version

今から証明しようとするのは式 '~p ≈ −p' です。これが次の式から出てきてしまいます。式の前にある数字は A Survey of Symbolic Logic で、その式に付されている番号です。

    • 2.21　( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

この式が A Survey of Symbolic Logic の何ページ目に出てくるかは、式に前置された番号で容易に特定できますので、これ以外の式も含めて、逐一 A Survey of Symbolic Logic でのページ数を記すことはやめておきます。これらの数字付きの式はいずれも A Survey of Symbolic Logic の 'Chapter V: The System of Strict Implication' に出てきます。なお、'2.21' ' というように、prime ' ' ' が付いている式は、こちらで prime を付したもので、A Survey of Symbolic Logic に出てくる式ではありません。そして以下の論証中では、記号や表現に言及するための引用符をしばしば省きます。


さて、

    • 2.21　( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

としましょう。代入の規則により、この q を p に、p を q に付け替えると、

    • 2.21'　( ~p ⊰ ~q ) ⊰ ( q ⊰ p )

です。次に

    • 4.15　( p ⊰ q ) ⊰ ( p ⊂ q )

が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。この定理から言えることは、p ⊰ q が成り立っている時、p ⊂ q が成り立つこと、別の言い方をすれば、p ⊰ q と書かれているところで p ⊂ q と書き換えてよいことを表しています。

念のために 4.15 から言えることを詳細に記せば、代入の規則により 4.15 の p に ~p を、q に ~q を代入すると、

    • 4.15'　( ~p ⊰ ~q ) ⊰ ( ~p ⊂ ~q )

となり、ここで 2.21' の前件 ~p ⊰ ~q を仮定すれば推論の規則により 4.15' の後件 ~p ⊂ ~q が帰結します。
また 4.15 の p に q を、q に p を代入すれば、

    • 4.15''　( q ⊰ p ) ⊰ ( q ⊂ p )

となり、ここで 2.21' の後件 q ⊰ p を仮定すれば推論の規則により 4.15'' の後件 q ⊂ p が帰結します。
こうして、~p ⊰ ~q を仮定すれば ~p ⊂ ~q が帰結し、q ⊰ p を仮定すれば q ⊂ p が帰結するので、

    • 2.21'　( ~p ⊰ ~q ) ⊰ ( q ⊰ p )

の前件から ~p ⊂ ~q が、後件から q ⊂ p が出てくるため、2.21' を次のように書き換えることができます。

    • 4.54　( ~p ⊂ ~q ) ⊰ ( q ⊂ p )

さて、

    • 3.42　−p ⊰ ( p ⊂ q )

が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。この p を ~p に、q を ~−p に書き換えると

    • 3.42'　−~p ⊰ ( ~p ⊂ ~−p )

です。そして先ほど得られた

    • 4.54　( ~p ⊂ ~q ) ⊰ ( q ⊂ p )

の q を −p に書き換えると

    • 4.54'　( ~p ⊂ ~−p ) ⊰ ( −p ⊂ p )

です。また

    • 3.46　( −p ⊂ p ) ⊰ p

が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。
さて、先ほどの

    • 3.42'　−~p ⊰ ( ~p ⊂ ~−p )

の前件 −~p を仮定すると、その後件 ~p ⊂ ~−p が帰結し、この帰結したものと先ほどの

    • 4.54'　( ~p ⊂ ~−p ) ⊰ ( −p ⊂ p )

から、この式の後件 −p ⊂ p が帰結し、この帰結したものと先ほどの

    • 3.46　( −p ⊂ p ) ⊰ p

から、この式の後件 p が帰結するので、結局 −~p の仮定から p が出てくることにより、

    • −~p ⊰ p　　(#)

と言ってよいことになります*6。
次に、

    • 2.3　( −p ⊰ q ) ⊰ ( −q ⊰ p )

が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。この p を ~p に、q を p に書き換えると、

    • 2.3'　( −~p ⊰ p ) ⊰ ( −p ⊰ ~p )

となります。この式の前件と、先ほどの (#) は同じですので、この式の後件

    • −p ⊰ ~p　　(%)

が得られます。
ところで次が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。

    • 1.7　~p ⊰ −p

そして次の定義が A Survey of Symbolic Logic で採用されています。

    • 1.06　( p ≈ q ) = ( p ⊰ q ) ・ ( q ⊰ p ).　Def.

この定義式 1.06 の右辺の左連言肢 p ⊰ q に 1.7 ~p ⊰ −p を、1.06 の右辺の右連言肢 q ⊰ p に (%) −p ⊰ ~p を代入してやると、1.06 の右辺は

    • ( ~p ⊰ −p ) ・ ( −p ⊰ ~p )

となり、これは 1.06 により

    • ~p ≈ −p　　(R: Redundancy)

をもたらします。これが私たちの証明したいものでした。

この定理 (R) は C. I. Lewis さんにとり、破滅的な定理です。C. I. Lewis さんにとっては、不可能 '~' という様相演算子を特別に導入したいと願っていたのに、定理 (R) のおかげで、不可能性の operator は通常の否定の演算子と何ら変わりがないということになり、わざわざ不可能性の operator を持ち込むいみがない、そのようなものはなしで済ますことができる、全く古典二値論理で充分である、ということになってしまうからです。定理 (R) は、様相の operator が不要であることを表している式だと読むことができるのです。

続いて longer version の論証を示します*7。


Proof of '~p ≈ −p': Longer Version

やはり式 '~p ≈ −p' を、これから証明します。

まず、

    • 1.02　 ( p ⊰ q ) = ~( p ・−q ).　Def.

が、A Survey of Symbolic Logic において定義として採用されています。これの p を ~q に、q を ~p に書き換えると、

    • 1.02'　( ~q ⊰ ~p ) = ~( ~q ・−~p ).　Def.

になります。そしてこの式の右辺 ~( ~q ・−~p ) を仮定すれば、その左辺 ~q ⊰ ~p が得られます。
今、A Survey of Symbolic Logic における次の定理を用意します。

    • 2.21　( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

前もって述べておくと、shorter version の証明の時と同様、この式から不都合な定理が出てきます。

さて、この用意した式 2.21 の左辺 ~q ⊰ ~p と、1.02' の左辺 ~q ⊰ ~p は同じなので、1.02' の右辺 ~( ~q ・−~p ) を仮定すれば、2.21 の右辺 p ⊰ q が得られます。そしてこの右辺 p ⊰ q は最初の 1.02 の左辺 p ⊰ q に同じなので、1.02' の右辺 ~( ~q ・−~p ) を仮定すれば、1.02 の右辺 ~( p ・−q ) が得られます。振り返ってみると、1.02' の右辺 ~( ~q ・−~p ) を仮定したことから、1.02 の右辺 ~( p ・−q ) が得られたので、次のように言ってよいことになります。

    • ~( ~q ・−~p ) ⊰ ~( p ・−q )　　(1)*8

次に、先ほどの

    • 2.21　( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

における q に ( ~q ・ −~p ) を、p に ( p ・ −q ) を代入すれば、

    • 2.21'　( ~( ~q ・ −~p ) ⊰ ~( p ・ −q ) ) ⊰ ( ( p ・ −q ) ⊰ ( ~q ・ −~p ) )

です。この前件 ~( ~q ・ −~p ) ⊰ ~( p ・ −q ) と先ほどの (1) は同じなので、2.21' の後件

    • ( p ・ −q ) ⊰ ( ~q ・ −~p )

が得られます。これの q に −p を代入すれば

    • ( p ・ −−p ) ⊰ ( ~−p ・ −~p )　　(2)

となります。A Survey of Symbolic Logic で

    • 2.51　−( −p ) ≈ p

が定理とされているので、先ほどの (2) の左辺を一部つづめると

    • ( p ・ p ) ⊰ ( ~−p ・ −~p )　　(3)

となり、また A Survey of Symbolic Logic で

    • 2.81　p ≈ ( p ・ p )

が定理とされているので、先ほどの (3) の左辺をさらにつづめると

    • p ⊰ ( ~−p ・ −~p )　　(4)

となります。
今、

    • 2.1　( p ・ q ) ⊰ p

が A Survey of Symbolic Logic で定理とされていて、これの p に ~−p を、q に −~p を代入すれば、

    • ( ~−p ・ −~p ) ⊰ ~−p　　(5)

となります。さて、A Survey of Symbolic Logic で

    • 1.6　( ( p ⊰ q ) ・ ( q ⊰ r ) ) ⊰ ( p ⊰ r )

が定理とされています。この 1.6 の q に先ほどの (4) の後件、すなわち (5) の前件 ( ~−p ・ −~p ) を、r に (5) の後件 ~−p を代入すれば

    • 1.6'　( ( p ⊰ ( ~−p ・ −~p ) ) ・ ( ( ~−p ・ −~p ) ⊰ ~−p ) ) ⊰ ( p ⊰ ~−p )

となります。この 1.6' の左辺は、先ほどの (4) と (5) の連言なので、1.6' の右辺

    • p ⊰ ~−p　　(6)

が得られます。そしてこの (6) の p に −p を代入すると

    • −p ⊰ ~−−p　　(7)

が得られ、やはり先ほどの 2.51 −( −p ) ≈ p から (7) の右辺をつづめると

    • −p ⊰ ~p　　(8)

が得られます。ところで次が A Survey of Symbolic Logic で定理とされています。

    • 1.7　~p ⊰ −p

そして次の定義が A Survey of Symbolic Logic で採用されています。

    • 1.06　( p ≈ q ) = ( p ⊰ q ) ・ ( q ⊰ p ).　Def.

この 1.06 の右辺の左連言肢に 1.7 ~p ⊰ −p を、1.06 の右辺の右連言肢に (8) −p ⊰ ~p を代入してやると、1.06 の右辺は

    • ( ~p ⊰ −p ) ・ ( −p ⊰ ~p )

となり、これは 1.06 により

    • ~p ≈ −p　　(R: Redundancy)

をもたらします。これが私たちの証明したいものでした。



さて、この破滅的な定理 (R) を前にして、軌道修正を迫られた C. I. Lewis さんは以下のような手を打ちました。

そもそも A Survey of Symbolic Logic では、

    • 1.8　( p ⊰ q ) ≈ ( ~q ⊰ ~p )

が仮定 (postulate) されています。

    • 1.06　( p ≈ q ) = ( p ⊰ q ) ・ ( q ⊰ p ).　Def.

により、1.06 の p に 1.8 の左辺 p ⊰ q を、1.06 の q に 1.8 の右辺 ~q ⊰ ~p を代入すれば、

    • 1.06'　( ( p ⊰ q ) ≈ ( ~q ⊰ ~p ) ) = ( ( ( p ⊰ q ) ⊰ ( ~q ⊰ ~p ) ) ・ ( ( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q ) ) ).　Def.

となります。この式の左辺は、先の 1.8 に同じですから、この式の右辺が得られます。

    • ( ( p ⊰ q ) ⊰ ( ~q ⊰ ~p ) ) ・ ( ( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q ) )

これは連言式ですから、この式の各連言肢を得ることができます。

    • ( p ⊰ q ) ⊰ ( ~q ⊰ ~p )
    • ( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

前者は 2.2 と C. I. Lewis さんによって番号が振られており、後者は私たちにとっての諸悪の根源であった

    • 2.21　( ~q ⊰ ~p ) ⊰ ( p ⊰ q )

のことです。災いの源であるこの 2.21 を封印するため、これが出てきたそもそもの

    • 1.8　( p ⊰ q ) ≈ ( ~q ⊰ ~p )

を、次のように修正してやります。

    • ( p ⊰ q ) ⊰ ( ~q ⊰ ~p )

つまり、1.8 を

    • 2.2　( p ⊰ q ) ⊰ ( ~q ⊰ ~p )

だけに限ってしまうということです*9。

このようにして A Survey of Symbolic Logic から出てくる新たな災いを封じ込め、罪を償って C. I. Lewis さんは再出発を図ります。この後は順調に進んだみたいで、今の修正した体系は、のちにいわゆる 'S3' と呼ばれる体系になったようです*10。


Quine さんによって罪を問われたのは様相量化論理でしたが、C. I. Lewis さんは様相命題論理の建設段階で、早くも罪の報いを受けねばならなかったようであり、二度に渡って蹉跌を来しながら、何とかそれらを切り抜けて、やっとのことで C. I. Lewis さんの calculus of strict implication が出来上がったようですね。Quine さんによる様相量化論理への論難の前に、既に様相命題論理建設の段階で、様相論理の危うさとも思われるものが露呈し、その難局をかわすため、C. I. Lewis さんが上述のような苦労をされていたとは、私は全然知りませんでした。


本日の記述中で、無理解なところや誤解しているところ、誤字や脱字が見られるかもしれません。そのようでしたらどうかお許し下さい。

*1:C. I. Lewis, ''Implication and the Algebra of Logic,'' in: Mind, New Series, vol. 21, no. 84, 1912.

*2:例えば次でこの災いに言及されています。E. M. Curley, ''The Development of Lewis' Theory of Strict Implication,'' in: Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 16, no. 4, 1975, p. 525, 吉満昭宏、「C. I. ルイスと様相論理の起源」、『科学哲学』、第37巻、第1号、2004年、6ページ。

*3:C.I. Lewis, A Survey of Symbolic Logic, University of California Press, 1918, pp. 292-93.

*4:C.I. Lewis, A Survey of Symbolic Logic, p. 295.

*5:念のために一言。本文中でも記しましたが、'shorter version' というのは、以下に掲載される論証の長さを言うのではなく、以下での論証を説明するに当り、参照した Parry 論文での論証の長さが比較的短いということを言います。

*6: '(#)' という記号は、こちらで付けたもので、 A Survey of Symbolic Logic に出てくるものではありません。この種の記号については以下同様です。

*7:再度念のために一言。初めの辺りの本文中でも記しましたが、'longer version' というのは、以下で記述される論証の長さを言うのではなく、以下での論証を説明するに当り、参照した C. I. Lewis 論文での論証の長さが比較的長いということを言っています。

*8:この '(1)' という記号は、こちらで付けたもので、A Survey of Symbolic Logic に出てくるものではありません。以下、この種の記号は同様です。

*9:C. I. Lewis, ''Strict Implication - An Emendation,'' p. 301.

*10:吉満、「C. I. ルイスと様相論理の起源」、6ページ。