- Geoffrey Hellman Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, Oxford University Press, 1993
- Paul Shields Charles S. Peirce on the Logic of Number, Docent Press, 2012
- Benjamin Lee Buckley The Continuity Debate: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond, and Peirce on Continuity and Infnitesimals, Docent Press, 2012
Hellman さんの本は、随分前に一度購入したことがある。しかし、難しそうなので読まなかった。読めそうもなかったので、その後、本を手放した。けれど、手放したことを、ちょっぴり後悔した。やっぱり持っておきたかった。そうしてしばらくたってから、まだこの本が新刊として入手可能であることに気が付いた。それで注文して今回再入手しました。今もって Hellman さんのこの本における project が viable なのかどうか、私はよく知りません。ただ、間もなく開催される学会の次の予稿を拝見させていただくと、
Hellman さんの上記の本が真剣に検討されているようなので、検討に値するだけの価値はまだ失っていないものと推測されます。
Shields さんの本については、出版社 home page に掲げられている本書の次の解説をご覧ください。
In 1881 the American philosopher Charles S. Peirce published a remarkable paper in The American Journal of Mathematics called On the Logic of Number. Peirce’s paper marked a watershed in nineteenth century mathematics, providing the first successful axiom system for the natural numbers. Awareness that Peirce’s axiom system exists has been gradually increasing but the conventional wisdom among mathematicians is still that the first satisfactory axiom systems were those of Dedekind and Peano. The book analyzes Peirce’s paper in depth, placing it in the context of contemporary work, and provides a proof of the equivalence of the Peirce and Dedekind axioms for the natural numbers.
この本は1981年に書かれた doctoral dissertation が元になっています。但し、若干修正されていて、かつ今回の本の巻末には、Max Fisch さんからの書簡が三通収められています。 (Max Fisch さんは、論理学史の観点からは、Peirce が多値論理を考えていたことを、発掘した人として有名かもしれません。) この書簡は、Max Fisch さんがお持ちの研究情報を、著者らに伝えるものみたいです。
なお、Shields さんによるこの本の digest 版は、次の論文で読むことができます。
- Paul Shields ''Peirce's Axiomatization of Arithmetic,'' in Nathan Houser, Don D. Roberts, and James Van Evra eds., Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce, Indiana University Press, 1997.
短い論文で、簡潔にまとめられているようです。この論文は、Peirce の logic を勉強しようとする人は、たぶんみんな持っている有名な分厚い論文集に収められていますので、容易に見ることができると思います。(Google ブックス でも見れますが、一部、見ることのできないページがあります。)
Benjamin Lee Buckley さんの本についても、出版社による情報を以下に掲げます。
The topic of this book is the historical struggle to define and defend a realnumber continuum which could do the work limit theory required of it. These definitions drew heavily on philosophical and foundational assumptions, and each raises numerous philosophical questions of its own. As we shall see, attempts to formulate a non-geometrical mathematical continuity raise questions such as: What is a number? What, in particular, is a real number? What is the true nature of continuity itself? Does a philosophically coherent definition of continuity logically commit us to infinitesimally small quantities? Is the concept of an infinitesimally small quantity even logically coherent? What is the relationship between this real number continuum and other well known continua, such as the geometrical straight line? The main question to be addressed, of course, is whether mathematical continuity exists at all.
この本も、描き下ろしではなく、以前に書かれた論文を元にしているようです。著者の home page で CV を見ると、2008年に書かれた Ph.D. Dissertation を下敷きにしているみたいです。(本の中には、copy right を取得した年が 2008 と 2012 となっているだけで、Ph.D. Dissertation を元にしているとは、どこにも書かれていないように見えます。通常、その種のことが書かれているところを拾い読む限りでは…。)
