本日も、例によって、一つ、二つ些細なことを記します。気楽に書いたので、読まれる場合は気楽にお読みいただければと存じます。
先日、以下の論文を拝読致しました。
- Alasdair Urquhart ''Principia Mathematica: The First 100 Years,'' in Nicholas Griffin and Bernard Linsky eds., The Palgrave Centenary Companion to Principia Mathematica, Palgrave Macmillan, History of Analytic Philosophy Series, 2013.*1
とても興味深かったです。何となく Principia って、なぜ昔はあんなに影響力があったのだろう、と思っていたのですが、その影響力について、論文著者の Urquhart 先生が面白い data を提示されています。いくつか本文を引用してみます。各本文引用文の後に、大雑把な私の訳を記しておきます。(誤訳しておりましたら誠にすみません。)
Principia Mathematica is certainly a book that few people have read, though Erwin Schrödinger [a.k.a. the proposer of a thought experiment, Schrödinger's cat] was surely exaggerating when he said (Wood, 1957, Ch. IV [Alan Wood, Bertland Russell: The Passionate Sceptic]) that he didn't believe that Russell and Whitehead had read it themselves. Indeed, it is not a book that is readable in any ordinary sense.
Nevertheless, at least one part of the three-volume treatise was widely read, Part I of Volume I, the section on mathematical logic. For about twenty years, this remained one of the basic references on symbolic logic and was the starting point for some of the best-known logicians of the twentieth century. W.V. Quine stands out among these - recall his famous remark, 'This is the book that has meant the most to me,' printed on the back cover of the abbreviated paperback edition of PM (PMa [Principia Mathematica to *56]).*2
Principia は、確かに、読み切った人の数の少ない本である。だが、Whitehead and Russell でさえ読んでいないに違いないと述べる Schrödinger の発言は、まったく言い過ぎである。しかし、実際その本は、通常の意味では読みやすい本ではない。にもかかわらず、少なくともその本の初めの部分、logic を説明している部分は、広く読まれた。およそ20年間に渡って、logic の基本文献の一つであったのであり、有名な logician の幾人かが最初に logic を学んだのもこの本からだった。そのような logician の一人が Quine である。彼は言う、「これは私にとって最高の本だった。」
Among logicians today, the book [Principia Mathematica] is largely forgotten, except for a few historians of logic and philosophical logicians. However, this is the common fate of all mathematical treatises, even the greatest.*3
今日、logician の間では、Principia は忘れられている。わずかな数の論理学史家と、わずかばかりの哲学的な logician しか読まない。だが、これはあらゆる数学書の同じくする運命であり、最も偉大な数学書でもそうなのだ。
At the end of the nineteenth century, the most widely cited treatise on logic was perhaps Schröder's three-volume exposition of algebraic logic (Schröder, 1890-95 [Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik)]).*4
19世紀の終わりにおいて、最もよく引用されていた logic の文献は、Schröder の『論理代数講義』だろう。
For about twenty years, from 1910 till 1930, PM [Principia Mathematica] remained a basic reference in logic. It was only towards the end of this time that it began to lose its canonical status, […] *5
1910年から1930年までの約20年間に渡り、Principia は logic でまずは参照されるべき基本文献だった。1930年に近づく頃になって Principia はその権威を失い始めた。
[I]t was in the 1930s that PM began its precipitous decline as a fundamental reference in logic. We can trace this decline by looking at the percentages of papers in the Journal of Symbolic Logic that include Whitehead and Russell's treatise in their list of references.
The chart shows an irregular but steady decline from a high of 55 percent in 1936 to a complete eclipse in 1951. Increasingly, the most important references in the JSL are articles such as Gödel's great incompleteness paper of 1931, and other journal articles that flowed from it.*6
Principia の logic における基本図書としての性格が急速に衰退し始めたのは、1930年代においてであった。JSL に掲載された諸論文の参考文献表において、Principia が掲示されている割合を見ることで、その書籍の権威の衰退を追うことができる。以下のグラフは1936年に JSL に掲載された論文の55%が Principia に言及していたのに、浮き沈みを繰り返しながら徐々にその言及の割合が減っていって、1951年には完全に誰も言及しなくなった様子を示している。替わりに Gödel の31年論文と、この論文の成果を受けて書かれた論文に、言及する文献の数が増えていく。
(このグラフは Urquhart 論文の p. 6 にあるもので、若干の補足と、着色を施しました。このグラフに記されている数字が見えますでしょうか。グラフの左の縦線には0から60までのパーセンテージが、グラフの下の横線には1936年から1951年までの西暦が記されています。)
The two volumes (Hilbert and Bernays, 1934, 1939 [Grundlagen der Mathematik, vol. 1 and 2]) made the new results available in monograph form to German readers, while for English-speaking readers, the tremendous advances of the 1930s and 1940s in logic and foundations of mathemtics were made available in textbook form in Kleene's Introduction to Metamathematics (1952).
Kleene's book was a basic reference throughout the 1950s and 1960s; […] By the 1950s, it seems to have been quite rare for a mathematician or philosopher to learn logic by studying Principia Mathematica.*7
ドイツ語圏では1930年代に、新たな成果を盛り込んだ Hilbert and Bernays の大著が入手可能となり、英語圏では1930年代と40年代の成果を取り込んだ Kleene の教科書が1952年に出た。Kleene のこの本は、1950年代、60年代を通じて基本的な教科書となり、1950年代までには Principia で logic を勉強し始める数学者、哲学者は、非常にまれになったように思われる。
1910年に 1st ed. が出て、1925年に 2nd ed. が出た後、1930年代の半ばぐらいまでは、権威を保っていたものの、30年代後半になると徐々にその威信が低下していく様子が、data から読み取れるというわけだ。何だかちょっと面白い。私は個人的になぜ Principia があれほどまでに影響を与えたのか、ぼんやりと疑問に思っていました。もちろんそれだけの内容があったので、巨大な影響力を持ったことは、別に不思議ではないのですが、どうして皆あの本に魅せられたのか、その気分を感じてみたいと思っていたのです。私としては、あの本があのような影響力を持ったのは、何よりも、あの本の扱っている事柄の包括性が大きかったのではないか、と思ってきました。非常に包括的な扱いを見せていた、ということです。きっと当時皆、圧倒的な感じを受けたのではないでしょうか。打ちのめされた、と言うか、広大、巨大、比類なき徹底性、目が覚める思いだったろうと想像します。それと、そこで目指されていることの遠大さ、そこに示されている野心、とてつもないことをやらかそうとしていると、人々は感じたのではないでしょうか。
そして今回、上記の Urquhart 先生の論文を拝読して気づかされたのは、上で引いた最初の引用文に Quine の話が出てきますが、この文章の中で、当時、logic を人は Principia で学び始めることがあった、と書かれています。Principia の初めの部分は、logic の教科書としての役割を果たしていたということから、Principia には教科書としての影響力があった、ということですが、これは個人的に若干意外でした。というのも、今の私たちにとって、Principia が logic の入門的な教科書になるという発想は、間違いなくゼロでしょうし、logic を勉強し始めるに際しては、今ではそれにふさわしい教科書がたくさんあるので、誰も Principia から始めようとする人など一人もいないだろうから、Principia が教科書として影響力があったとは、全然気がつきませんでした。そういうこともあったんだ。そんなふうにも影響力を持ったんですね。圧倒的な包括性と目標の遠大さだけではなく、入門的な教科書でもあったから、影響力があったのですね。
PS
以上の話とは全く関係ない事柄として、この論文では、次のようなことが書かれている。
∗9.11 ⊢ : ϕx ∨ ϕ y. ⊃ . (∃z) . ϕz Pp
[…]
A parenthetical remark: the appearance of the primitive proposition ∗9.11, and the role that it plays in establishing the propositional axioms is perhaps the first place where the key role of the contraction rule in the foundations of logic appears.*8
論理学の基礎において、contraction の重要な役割が示されている史上最初の場面は、おそらく Principia のこの ∗9.11 においてだろう、とのことですが、だとすると、これは興味深い。以前、当日記でも記しましたが*9、次の論文によると、
- Ettore Casari ''Conjoining and Disjoining on Different Levels,'' in Maria Luisa Dalla Chiara, Kees Doets, Daniele Mundici and Johan van Benthem ed., Logic and Scientific Methods: Volume One of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995, Kluwer Academic Publishers, Synthese Library, vol. 259, 1997,
既に、John Venn の1894年の Symbolic Logic, 2nd ed. で contraction に言及されているようで、さらには古代の Sextus Empiricus が contraction に言及していることが Casari 論文で述べられていましたが、論理の基礎的な場面で重要な役割を受け持つ形で最初にその規則が言及されているのは、Principia の ∗9.11 における場面が史上初なのかもしれません。このあたりは、よく知らないので、今後また勉強してみます。
以上で本日の記述を終わります。読み返していないので、勘違いしているところや、誤字、脱字などが色々あるのではないかと思います。気楽に書き下したので、間違っていましたら大変すみません。
*1:この論文は、http://www.palgrave.com/PDFs/9781137344625.Pdf において、その proof が無料で誰でも読めるようになっています。いつまで読めるのか、いつか link が切れるでしょうが、今のところ読めるみたいです。
*2:Urquhart, p. 4.
*3:Urquhart, p. 3.
*4:Urquhart, p. 5.
*5:Urquhart, p. 5.
*6:Urquhart, p. 6.
*7:Urquhart, p. 7.
*8:Urquhart, p. 17.
*9:2009年2月1日、項目'Substructural Logics in Ancient Times.'
