Leśniewski は特異な考えを持っているところがあります。そのような考えの一つに、empty class は存在しない、というものがあります。なぜ empty class は彼にとってないというのでしょうか。この考えは、何か特別な原理から導き出されるものなのでしょうか。本人に話を聞いてみましょう。英訳を引用し、うまくない私訳/試訳を付けます。誤訳している可能性が非常に大きいので、原則として英訳のみをお読みください。あらかじめ誤訳に対し、お詫び申し上げます。なお、引用の際は原文にある註は省きます。
但し書: Leśniewski にとって、素朴集合論に見られる set や class の観念は不合理で、筋道立てて理解できるようなものではなく、そのいみで理解不能な観念なので、初めから受け入れられないもののようですが、仮にこの場限りであれ、それらの観念の一部でも受け入れた場合、empty class というものを Leśniewski はどう考えるのか、ということが、これ以降語られます。ですから、そもそもは set や class の観念は、Leśniewski にとってまったく受け付けられないものなのでしょうが、暫定的に一部受け入れた場合の話を以下でします、ということです。関連することとして、次を参照ください。Rafal Urbaniak, Leśniewski's Systems of Logic and Foundations of Mathematics, Springer, Trends in Logic, vol. 37, 2013, p. 166, n. 1. 但し書終わり。
Leśniewski は Russell's Paradox に遭遇し、この Paradox をすぐさまたやすく解決することはできないと悟り、解決に向けて本腰を入れることにしました。そこでまず彼はこの Paradox を導く論証の前提を精査し始めます。
I began to examine examples of situations in which, in practice, I considered or did not consider a particular object to be the class or collection respectively of such and such objects (having at my disposal the expressions 'class' and 'collection', I called a class of some a just a collection of a's only) and to submit to critical analysis my belief in the various assumptions of this '[Russell's] antinomy' from that particular point of view (the question of 'empty classes' was not the subject of my considerations at that time, because, from the first contact, I treated the conception of 'empty classes' as a 'mythological' conception and without hesitation took the position, that
(1) if any object is the class of objects a, then some object is a).
In this way I arrived at the convition, that,
(2) It happens frequently that a certain object is a class of such and such objects and at the same time, a class of entirely different objects (so e.g., segment AB, Figure 1 is the class of segments which are segment AC or segment CB, and at the same time is the class of segments, which are segments[sic] AD or segment DB)[…]*1
私は次のような状況の事例を吟味し始めた。つまり、実際の場面で、私がある特定のものを、しかじかのものから成るクラスまたは集まりであると見なした場合と、そうは見なさなかった場合との、それぞれの場合についてである*2。(「クラス」と「集まり」という表現を好きに使ってよかったので、私はある a のクラスのことを、a だけから成る集まりにすぎないものとして呼んでいた。) そして、この [Russell の] 二律背反が持つ様々な前提を私は信じていたが、それらの信念を今述べたような実際の場面という特定の視点から批判的な分析にかけ始めた。(「空クラス」があるのかという問題は、その時、私にとって検討すべき課題ではなかった。なぜなら、その言葉に最初に出会って以来、私は「空クラス」という考えを「神話的な」考えと見なしていたからであり、だから躊躇することなく次の立場に私は立った。すなわち、
(1) もし、何であれ、何らかのものが a というものから成るクラスであるならば、a であるようなものがある。)
このようにして、以下のことを私は確信するに至った。つまり、
(2) ある特定のものが、しかじかのものから成るクラスであるとともに、同時に、まったく異なるものから成るクラスでもある場合が、しばしば起こる。(例えば、図1の線分 AB は、線分 AC と線分 CB から成る線分のクラスであると同時に、線分 AD と線分 DB から成る線分のクラスでもある。)
上記引用文中の (1) については、現代の標準的な論理学を一部援用しながら式に起こすと、次のようになると思われます。
(1) if any object is the class of objects a, then some object is a.
∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) )
ただし、この式では存在量化子 ∃ が現れていますが、このように (1) の 'some' を存在量化子で書き起こすべきなのかは、大いに異論がありうると思います。しかしながら今はとりあえず存在量化子で起こすことにし、詳しい検討は控えることに致します。Leśniewski にとって量化とは何であったのかは、大きな問題であり、たぶんこの問題の解決策については consensus が取ることができていないと思いますので、深入りすることはよしておきます。
さて、(1) の式を例えば B で普遍例化すると、
B ε Kl(a) → ∃y ( y ε a )
ここでこの式の前件を仮定します。
B ε Kl(a)
すると、次が出ます。
∃y ( y ε a )
式 (1) の Kl(a) が a から成る class のことであるならば、∃y ( y ε a ) とは、その a であるようなものがあることを言っていることになります。結局 (1) の式は、何かが class であるならば、その時、class を成しているものがあるのだ、と言っていることになります。この対偶を取れば、class を成しているものがないならば、何かが class であることはない、となります。こうして式 (1) の内容は、empty class はない、と言っていることになると思います。
ちなみに、具体例を使って上の式を解釈してみましょう。
次のように、各記号を解釈します。
B: 日本
ε: である
Kl: class
a: 都道府県
(Leśniewski は、alphabet の大文字に単称名を入れます。そして alphabet の小文字には一般名を入れます。現代の慣習と逆になっています。)
すると、以下のようになります。
(1) ∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) ) 何であれ、それが都道府県の class であるならば、都道府県であるようなものがある。
B ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) 日本が都道府県の class であるならば、都道府県であるようなものがある。
B ε Kl(a) 日本は都道府県の class である。
∃y ( y ε a ) 都道府県であるようなものがある。
(1) の式は、もしも何かが都道府県から成る class だと言うのならば、その時、都道府県であるようなものがあるのだ、ということになります。対偶を取れば、都道府県であるようなものがまったくないのならば、何かが都道府県から成る class だ、ということもない、ということになります。
以上、(1) の式 ∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) ) は、平たく言えば、「何かがクラスであれば、クラスを成り立たせているものがある」と言っているものと思われ、対偶を取れば、empty class はないということを結局述べているものと思われます。
さて、以上を振り返って思うに、Leśniewski にとって empty class は存在しないという主張は、何か特別な原理から引き出される見解なのではなく、「何かが集まりだというのならば、それは何かが集まってできているものだろうし、だから何も集まっておらず、集められるべきものもないのならば、集まりはそもそもないはずだ」というような常識から、empty class の存在を否定しているのだろうと思われます。難しくて深遠、高尚な原理から empty class はない、と言っているのではなく、具体的で実際的な場面を思い出し、そこに見られる常識的観点から、empty class はない、と言っているものと考えられます。上記引用文を見れば書いてあるように、そもそも 'empty class' の類いの言葉に出会った当初から (from the first contact)、Leśniewski は「そんな言葉が指しているものは存在しない」と明確に感じ取っていたわけです。何か特別な原理があって、そこから「empty class はない」という結論が出てきたのではなく、常識からして初めから「そんなものはない」と結論していたと考えられます。そしてこの「empty class はない」ということを定式化したのが式の (1) になっているのではないかと思われます。
もう一つ、Leśniewski の文章を引用してみます。
I return once more to Frege. All the objections of this scholar directed against those who admit the existence of 'empty classes', although stating on the other hand that classes consist of elements, do not apply, naturally, to my conception of classes outlined above in connection with Russell's 'antinomy'. Being of the opinion that, if an object is the class of some a (e.g., people, points, square circles), then it actually consists of a, I always rejected, in accordance with thesis (1) on page 186 [correctly, on page 202], the existence of theoretical monstrosities like the class of square circles, understanding only too well that nothing can consist of something which does not even exist. There has never been a time in my life in which I would not have been in complete agreement with the lapidary remark of Frege a propos the theory of classes of Ernst Schroeder: ''If'' ... ''a class consists of objects, is an aggregate, a collective unity of them, then it must vanish when the objects vanish. If we burn all the trees in a forest, we thereby burn the forest. Thus there can be no empty class''*3
[Thesis (1): if any object is the class of objects a, then some object is a. Namely, ∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) ).]
もう一度、フレーゲに戻ろう。一方でクラスは要素から成ると言いながら、それでも空クラスの存在を認めている人々に対し、この学者フレーゲがなしたあらゆる反論は、ラッセルの「二律背反」に関し、上で素描した私のクラス観には、当然のことながら、当てはまらない。もし、あるものが、(例えば、人々、諸点、四角い丸たちのような) ある a から成るクラスであるならば、それは実際に a から成るのである、という意見を持っていた私は、何ものも存在さえしないものから成りうるなどということはない、ということをよくよくわかっていたので、四角い丸たちから成るクラスのような理論的怪物の存在を、186ページ [正しくは、202ページ] のテーゼ (1) に従って、いつでも拒否した。エルンスト・シュレーダーのクラスの理論に関し*4、フレーゲが述べた以下のような珠玉の見解に、完全には同意しなかったであろうような時期は、私の人生においては決してない。「もし」 ... 「クラスがものから成り、集積であって、ものが集まってひとまとまりになっているのならば、そのものがなくなれば、そのクラスもなくならねばならない。もしも森のすべての木を燃やしてしまえば、それによりその森も燃やされてしまうのである。それゆえ空クラスはあり得ない。」
[テーゼ (1): もし、何であれ、何らかのものが a というものから成るクラスであるならば、a であるようなものがある。すなわち、∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) ).]
私はこの引用文を次のように読みました。すなわち Leśniewski は、ここで以下のように考えているものと思われます。
-
- 一つのものが、あるものから成る class であるならば、その一つのものは実際にそのあるものから成っている (if an object is the class of some a […], then it actually consists of a)、ということであり、言い換えると、集められるべきものがなければ、集まりもないのだ
という常識を Leśniewski はまず支持し、そしてこの常識から、
-
- テーゼ (1): もし、何であれ、何らかのものが a というものから成るクラスであるならば、a であるようなものがある (if any object is the class of objects a, then some object is a)、すなわち、∀x ( x ε Kl(a) → ∃y ( y ε a ) ),
を彼は理論的に定式化し、そしてこの Thesis に従って、
-
- Empty class はないのだ
と Leśniewski は主張しているのではないか、ということです。
果たしてこのような読みが正しいのかどうか、正直に言って、確たることは私には言えないのですが、もしもおおよそこの通りだとするならば、上記二つの引用文を合わせて考えるに、結局 Leśniewski にとって、empty class がないという主張は、集まりのもととなる、集められるべきものがないならば、それから成る集まりもありはしない、という常識から出てくると言えそうに思われます。
私は Leśniewski による empty class はないという主張が、何か深遠な原理から出てくるのだろうかと思っていたのですが、以上の引用文を見た限りでは、その限りにおいて、どうも深遠で特別な原理からその主張は出てくるのではなく、単なる常識から、それにどこまでも寄り添った結果として、出てきているのだろうと思いました。
これで本日の日記は終わります。私は Leśniewski の専門家ではありませんので、今日の日記には多数の間違いが含まれているかもしれません。そのようでしたら誠にすみません。誤訳も含め、ここで再度お詫び申し上げます。
ちなみに、empty class はない、という Leśniewski の主張について、過去にもこの日記で説明したことがあります。よろしければそちらも参照ください。
- 2013年9月16日 'Why Can't There be any Empty Classes in Leśniewskian Perspective? Why Does Leśniewskian Unit Class Coincide with its only Element?' <http://d.hatena.ne.jp/nuhsnuh/20130916>,
- 2011年7月17日 'Frege, Leśniewski and Chwistek on Empty Class: Can There Be No Empty Class?' <http://d.hatena.ne.jp/nuhsnuh/20110717>.
*1:Stanisław Leśniewski, ''On the Foundations of Mathematics,'' translated by D. I. Barnett, in S. J. Surma, J. T. Srzednicki, D. I. Barnett eds., with an Annotated Bibliography by V. Frederick Rickey, S. Leśniewski Collected Works, Volume I, PWN-Polish Scientific Publishers and Kluwer Academic Publishers, Nijhoff International Philosophy Series, vol. 44/I, 1992, pp. 201-203.
*2:ここで何が言われているのか、若干わかりにくいと思います。ここで言われていることを具体例をもって言い直すと、次のような感じになります。日本を一つの特定のクラスと見た場合、それが都道府県から成っているクラスであると見なす場合もあれば、そうは見なさず、本州や四国などの大小様々な島嶼から成っているクラスと見なす場合もあります。このように一つの同じ特定のクラスが、同じクラスでありながら、それぞれ異なるものから成っている場合があるとして、ここではそのような事例を Leśniewski は吟味し始めた、と言っているのです。今、日本を例に挙げて説明しましたが、Leśniewski はこのあと、線分を使って同じことを説明しています。
*3:Leśniewski, ''On the Foundations of Mathematics,'' pp. 214-215.
*4:訳注: この「関し」は、原文の 'a propos' の訳で、この 'a propos' は原文で italics になっているものの、そうなっているのは強調のためではなく、ただ外国語 (フランス語) からの借字であることを表すために、そうなっていると思われますので、訳文中では太字などにはせず、そのままで訳出しておきました。
